Пример решения задачи по экономико-математическим методам и моделям

    Число вкладов частных лиц в сберегательный банк за любой определенный промежуток времени не зависит от начала этого промежутка, а зависит от его продолжительности. Вклады в банк в любые два непересекающихся промежутка времени делаются независимо. В промежутки времени достаточно малой длины вклады в банк поступают по одному. Средний интервал времени между двумя соседними вкладами равен 3-м часам. Найти вероятность, с которой:

1)                 за 2 дня в банк будет сделано 5 вкладов;

2)                 за день в банк не будет сделано ни одного вклада;

3)                 промежуток времени между двумя соседними вкладами составит меньше 3-х часов;

4)                 за 3 дня в банк будет сделан хотя бы один вклад.

Решение.

1)     за два дня в банк будет сделано 5 вкладов.

   Если время между поступлениями в систему имеет экспоненциальное распределение с параметром , то число поступлений в систему Х заданий за период времени Т будет иметь распределение Пуассона с параметром Т. Вероятность P{X=n} того, Х равно некоторому положительному целому числу n, вычисляется по формуле:

.

   Будем считать, что банк работает в день 8 часов.

   Следовательно вероятность того, что в течении 2-х дней в банк будет сделано 5 вкладов равна 0,174.

2)                 за день в банк не будет сделано ни одного вклада.

   Следовательно вероятность того, что в течении дня в банк не  будет сделано ни одного вклада равна 0,069.

3)                 промежуток времени между двумя соседними вкладами составит не менее 3-х часов:

Р(t  3) = 1 - = 1 + |03 = 1 + e-1 – 1 = e-1 = 0,3679.

4)                 за 3 дня в банк будет сделан хотя бы один вклад. За три дня в банк не поступит не одного вклада:

  Тогда вероятность того, что за три дня поступит хотя бы один вклад: