Пример решения задачи по статистике - задача 1

Условие задачи:

Имеются следующие данные о распределении рабочих предприятия по квалификации (тарифному разряду):

Группа рабочих предприятия

по тарифному разряду

Число работников, чел.

Всего

В том числе

цех 1

цех 2

1

9

3

6

2

24

7

17

3

48

15

33

4

84

28

56

5

75

26

49

6

36

13

23

7

18

6

12

8

6

2

4

Итого

300

100

200

На основании имеющихся данных определите по цехам предприятия и по предприятию в целом:

1) средний тарифный разряд рабочих;

2) модальные и медианные значения тарифного разряда рабочих. Поясните экономическое содержание этих показателей;

3) абсолютные показатели вариации тарифного разряда рабочих;

4) относительные показатели вариации тарифного разряда рабочих. Сравните вариацию тарифного разряда рабочих по цехам предприятия и по предприятию в целом.

Решение.

  Для удобства дальнейших вычислений составляем таблицу.

Таблица 2.2.

Промежуточные вычисления для расчета показателей вариации.

Группа рабочих предприятия

по тарифному разряду Xi

f1i

Накопленные частоты

Xif1i

X2if1i

f2i

Накопленные частоты

Xif2i

X2if2i

1

3

3

3

3

6

6

6

6

2

7

10

14

28

17

23

34

68

3

15

25

45

135

33

56

99

297

4

28

53

112

448

56

112

224

896

5

26

79

130

650

49

161

245

1225

6

13

92

78

468

23

184

138

828

7

6

98

42

294

12

196

84

588

8

2

100

16

128

4

200

32

256

Итого

100

 

440

2154

200

 

862

4164

 

Группа рабочих предприятия

по тарифному разряду Xi

fi

Накопленные частоты

Xifi

X2ifi

1

9

9

9

9

2

24

33

48

96

3

48

81

144

432

4

84

165

336

1344

5

75

240

375

1875

6

36

276

216

1296

7

18

294

126

882

8

6

300

48

384

Итого

300

 

1302

6318

 

Группа рабочих предприятия

по тарифному разряду Xi

f1i

 

 

f2i

 

 

 

1

3

3,40

10,20

6

3,31

19,86

2

7

2,40

16,80

17

2,31

39,27

3

15

1,40

21,00

33

1,31

43,23

4

28

0,40

11,20

56

0,31

17,36

5

26

0,60

15,60

49

0,69

33,81

6

13

1,60

20,80

23

1,69

38,87

7

6

2,60

15,60

12

2,69

32,28

8

2

3,60

7,20

4

3,69

14,76

Итого

100

 -

118,40

200

 -

239,44

 

Группа рабочих предприятия

по тарифному разряду Xi

fi

 

 

1

9

3,34

30,06

2

24

2,34

56,16

3

48

1,34

64,32

4

84

0,34

28,56

5

75

0,66

49,50

6

36

1,66

59,76

7

18

2,66

47,88

8

6

3,66

21,96

Итого

300

 -

358,20

 

  1. Средний тарифный разряд работников по каждому цеху и по всему предприятию определим по формуле  средней арифметической взвешенной.

   По первому цеху:

\[\overline{X_{1}}=\frac{\sum x_{i}f_{1i}}{\sum f_{1i}}=\frac{440}{100}=4.4 разряд.\]

   По второму цеху:

\[\overline{X_{2}}=\frac{\sum x_{i}f_{2i}}{\sum f_{2i}}=\frac{862}{200}=4.31 разряд.\]

  По всему предприятию в целом:

\[\overline{X}=\frac{\sum x_{i}f_{i}}{\sum f_{i}}=\frac{1302}{300}=4.34 разряд.\]

Найдем моду Мо, исходя из того, что модальному значению соответствует разряд имеющий наибольшую частоту.

   Для первого цеха:

Мо(1) = 4 разряд.

    Наибольшее число работников 1-го цеха имеют 4-ый разряд.

Для второго цеха:

Мо(2) = 4 разряд.

    Наибольшее число работников 2-го цеха имеют 4-ый разряд.

  По всему предприятию в целом:

Мо= 4 разряд.

Для определения медианного значения признака по следующей формуле находят номер медианной единицы ряда:

NMe = (n + 1)/2

, где n – объем совокупности.

Медиана – это варианта, располагающаяся в середине ранжированного ряда распределения.

Для первого цеха:

NMe(1) = (100 + 1)/2 = 50,5

  Точная середина располагается между 50-м и 51-м работником. Данные работники имеют 4-ый разряд, следовательно Ме(1) = 4 разряд. Половина работников 1-го цеха имеют разряд до 4, а вторя половина работников имеет разряд более 4.

Для второго цеха:

NMe(1) = (200 + 1)/2 = 100,5

  Точная середина располагается между 100-м и 101-м работником. Данные работники имеют 4-ый разряд, следовательно Ме(2) = 4 разряд. Половина работников 2-го цеха имеют разряд до 4, а вторя половина работников имеет разряд более 4.

По всему предприятию в целом:

NMe(1) = (300 + 1)/2 = 150,5

  Точная середина располагается между 150-м и 151-м работником. Данные работники имеют 4-ый разряд, следовательно Ме = 4 разряд. Половина работников предприятия имеют разряд до 4, а вторя половина работников имеет разряд более 4. Помощь на экзамене онлайн.

  1. К абсолютным показателям вариации относятся дисперсия и среднее квадратическое

отклонение.

Найдем дисперсию по следующей формуле:

\[\sigma^2=\overline{(X^2)}-(\overline{X})^{2}\]

Среднее квадратическое отклонение находим формуле:

\[\sigma=\sqrt{\sigma^2}\]

 Размах вариации:

R = Xmax – Xmin = 8 – 7 = 7 разряд.

Среднее линейное отклонение:

\[d=\frac{\sum (x_{i}-\overline{x})f_{i}}{\sum f_{i}}\]

Для первого цеха:

\[\overline{X_{1}^{2}}=\frac{\sum x_{i}^{2}f_{1i}}{\sum f_{1i}}=\frac{2154}{100}=21.54\]

\[\sigma_{1}^{2}=21,54 - 4,4^{2}=2,18\]

\[\sigma_{1}=1.476 разряд\]

Разброс наблюдений относительно средней величины составляет 1,476 тарифных единиц.

   Среднее линейное отклонение:

d1= 118,4/100 = 1,184 разряда.

Для второго цеха:

\[\overline{X_{2}^{2}}=\frac{\sum x_{i}^{2}f_{2i}}{\sum f_{2i}}=\frac{4162}{200}=20,82\]

\[\sigma_{2}^{2}=20,82 - 4,31^{2}=2,244\]

\[\sigma_{2}=1.498 разряд\]

Разброс наблюдений относительно средней величины составляет 1,498 тарифных единиц.

   Среднее линейное отклонение:

d2= 239,44/200 = 1,2 разряда.

Для всего предприятия:

\[\overline{X}^{2}=\frac{\sum x_{i}^{2}f_{i}}{\sum f_{i}}=\frac{6138}{300}=21,06\]

\[\sigma^{2}=21,06 - 4,34^{2}=2,224\]

\[\sigma=1.491 разряд\]

Разброс наблюдений относительно средней величины составляет 1,491 тарифного разряда.

   Среднее линейное отклонение:

d= 358,2/300 = 1,19 разряда.

  1. К относительным показателям вариации относится коэффициент вариации.

Коэффициент вариации определим по формуле:

\[V=\frac{\sigma}{\overline{X}}*100%\]

Коэффициент осцилляции:

\[V_{R}=\frac{R}{\overline{X}}*100%\]

Линейный коэффициент вариации:

\[V_{d}=\frac{d}{\overline{X}}*100%\]

Для 1-го цеха:

V1 = 1,476/4,4 = 0,336 или 33,6%.

VR1 = 7/4,4 = 1,591 или 159,1 %.

Vd1 = 1,18/4,4 = 0,269 или 26,9%.

Для 2-го цеха:

V2 = 1,498/4,31 = 0,348 или 34,8%.

VR2 = 7/4,31 = 1,624 или 162,4 %.

Vd2 = 1,2/4,31 = 0,278 или 27,8%.

 

Для всего предприятия:

V = 1,491/4,34 = 0,344 или 34,4%.

VR = 7/4,34 = 1,613 или 161,3 %.

Vd = 1,19/4,34 = 0,275 или 27,5%.

     Когда относительные показатели вариации не превышают 35%, то принято считать, что полученные средние характеристики достаточно надежно характеризуют совокупность по варьирующему признаку. В нашем же случае, коэффициент вариации не больше 35% , как для цехов в отдельности, так и для всего предприятия в целом. Следовательно, полученная средняя величина тарифного разряда ненадежно характеризует данную совокупность по этому признаку.

    По относительным показателям вариации между показателями каждого из цехов и всех цехов вместе практически нет различий. Т. е. показатели вариации по тарифному разряду в каждом цехе практически одинаковые.