Примеры решенных задач по гидравлике - 4

№ 2.

Автоклав объёмом V наполнен водой и закрыт герметично. Определить повышение давление в нём Δp при увеличении температуры воды на Δt, если коэффициент температурного расширения βt=0.00018°C-1, а коэффициент сжимаемости βp=0.42×10-9 Па-1. Изменением объёма автоклава пренебречь. Данные, необходимые для решения задачи, взять из табл. 3.

Дано : V=1.7 м3 ; Δt=54°C ; βt=0.00018°C-1 ; βp=0.42×10-9 Па-1.

Найти : Δp

Решение.

Коэффициент температурного расширения жидкостей βt – число, определяющее увеличение объёма жидкости при повышении температуры и определяется выражением :

βt= (1)

где ΔV – увеличение объёма жидкости, при увеличении температуры на Δt ; V – первоначальный объём.

Отсюда найдём изменение объёма :

ΔV=βtVΔt (2)

Так как автоклав наполнен полностью, то повышение объёма ΔV приведёт к повышению давления на Δp. В результате повышения давления жидкость будет сжиматься, компенсируя температурное расширение. Изменение объёма жидкости, при изменении давления характеризуется коэффициентом объёмного сжатия βp, который определяется выражением :

βp= (3)

С учётом (2) формула (3) примет вид :

βp=

Отсюда находим повышение давления :

Δp= (5)

Вычисления по формуле (5) дают :

Δp= Па=23 МПа

Ответ : Δp=23 МПа.

№ 11.

Найти давление p воздуха в резервуаре B, если избыточное давление на поверхности воды в резервуаре А равно М, разности уровней ртути (δ=13.6) в двух коленном дифференциальном манометре h1 и h2, а мениск ртути в левой трубке манометра ниже уровня воды на h. Пространство между уровнями ртути в манометре заполнено спиртом (δ=0.8).

Дано : h=1.05 м ; h1=240 мм ; h2=275 мм ; pм=55 кПа ; δ1=13.6 т/м3 ; δ2=0.8 т/м3

Найти : p

Решение.

Составим уравнение Бернулли для сечений 0-0 и 1-1 :

p1+ρgh=p0 , или

pм+pатм+ρgh=p0 (1)

где p1 – абсолютное давление в сечении 1-1 ; pм – избыточное давление в сечении 1-1 ; pатм=105 Па – атмосферное давление ; ρ=998 кг/м3 – плотность воды при t=20°C (табл. 1 [2]).

Составим уравнение Бернулли для сечений 0-0 и 2-2 (ртуть) :

p0=p2+δ1gh1 (2)

где p2 – давление в сечении 2-2 ; δ1 – плотность ртути.

Составим уравнение Бернулли для сечений 2-2 и 3-3 (спирт) :

p2+δ2gh1=p3 (3)

где p3 – плотность спирта ; δ2 – плотность спирта.

Составляем уравнение Бернулли для сечений 3-3 и 4-4 (ртуть) :

p3=p+δ1gh2

Отсюда выражаем давление p воздуха в резервуаре B :

p=p3-δ1gh2 (4)

Подставляя выражение для p3 согласно (3) в (4), получим :

p=p2+δ2gh1-δ1gh2 (5)

Подставляя в (5) выражение для p2, полученное из (2), получим :

p=p0-δ1gh1+δ2gh1-δ1gh2 (6)

Подставляя в (6) выражение для p0 согласно (1), получим :

p=pм+pатм+ρgh-δ1gh1+δ2gh1-δ1gh2=pм+pатм+g(ρh-δ1(h1+h2)+δ2h1) (7)

Произведя вычисления по формуле (7), получим :

p=55×103+105+9.81×(998×1.05-13.6×103×(0.24+0.275)+800×0.24)=98.5×103 Па=98.5 кПа

Ответ : p=98.5 кПа.

№ 42.

Определить диаметр трубопровода, по которому подаётся жидкость Ж с расходом Q, из условия получения в нём максимально возможной скорости при сохранения ламинарного режима. Температура жидкости t=20°C.

Дано : Ж – бензин ; Q=3.5 л/с.

Найти : d

Решение.

Расход в трубопроводе определяется выражением :

Q=vS= (1)

где v – скорость жидкости в трубопроводе ; S – площадь сечения трубопровода ; d - диаметр трубопровода.

Скорость жидкости найдём из формулы, определяющей число Рейнольдса :

v= (2)

где Re – число Рейнольдса ; ν=0.0073×10-4 м2/с – коэффициент кинематической вязкости бензина при t=20°C (табл. 1 [2]).

С учётом (2) формула (1) примет вид :

Отсюда находим диаметр трубопровода :

d= (3)

Учитывая, что критическое значение числа Рейнольдса, при котором ещё наблюдается ламинарное движение жидкости равно Re=2300, произведём вычисления по формуле (3) :

d= м=2700 мм

Ответ : d=2700 мм.

№ 52.

В бак, разделённый перегородкой на два отсека, поступает расход воды Q. В дне каждого отсека имеются одинаковые отверстия диаметром d1 и d2, а в перегородке – отверстие диаметром d3. Определить расход через донные отверстия Q1 и Q2.

Дано : Q=44 л/с ; d1=d2=75 мм ; d3=125 мм.

Найти : Q1, Q2

Решение.

На основании уравнения неразрывности течений, можно записать :

Q=Q1+Q2 (1)

Q=Q1+Q3 (2)

Q2=Q3 (3)

где Q1, Q2, Q3 – расход через отверстие диаметра d1, d2, d3 соответственно.

Используя формулу расхода при истечении через отверстия, запишем выражения для Q1, Q2 и Q3 :

Q1= (4)

Q2= (5)

Q3= (6)

где μ – коэффициент расхода ; H – высота уровня в левом отсеке ; h – высота уровня в правом отсеке ; S1, S2, S3 – площадь сечения отверстия диаметра d1, d2, d3 соответственно.

Выражая из уравнения (4) 2gH, из уравнения (5) – 2gh и подставляя в (6), получим :

Q2=Q3= (7)

Учитывая, что Q1=Q-Q2 перепишем выражение (7) в виде :

Q2=

Возведя, левую и правую части последнего равенства в квадрат, получим :

Учитывая, что d1=d2, а, значит S1=S2, получим :

Раскрывая скобки и перегруппировывая слагаемые, получим :

(8)

Вычислим S1 и S2 :

S1= м2

S2= м2

Подставляя в (8) заданные числовые значения, получим уравнение из которого определим Q2 :

м3/с=21 л/с

Так как физическая величина расхода не может быть меньше нуля, то решению задачи удовлетворяет только один корень уравнения, т.е.

Q2=21 л/с

Тогда расход через отверстие диаметра d1 согласно формуле (1) равен :

Q1=Q-Q2=44-21=23 л/с

Ответ : Q1=23 л/с ; Q2=21 л/с.

№ 60.

Центробежный насос с заданной при числе оборотов n=900 мин-1 характеристикой поднимает воду на высоту Hг по трубопроводам l1, d1 (λ1=0.02) и l2, d2 (λ2=0.025). Определить подачу Qн насоса при работе его с числом оборотов n=900 мин-1. Сравнить потребляемые насосом мощности при уменьшении его подачи на 25% дросселированием задвижкой или уменьшением числа оборотов. Местные сопротивления учтены эквивалентными длинами, включенные в заданные длины труб.

Дано : Hг=7 м ; l1=17 м ; d1=0.27 м ; l2=95 м ; d2=0.22 м.

Найти : Qн

Решение.

Для определения подачи насоса вычертим заданную характеристику H=f(Q) насоса ( кривая 1). На этом же чертеже построена характеристика η=f(Q) (кривая 2).

Далее, в том же масштабе построим график требуемого напора установки, определяемый по уравнению :

Hн=Hг+ (1)

где Hг – геометрическая высота ; hw - суммарные потери напора во всасывающем и нагнетающем трубопроводах ; p1 и p2 – разность давлений в напорном и приёмном резервуарах (в нашем случае p1=pатм p2=pатм) ; ρ=998 кг/м3 – плотность воды при t=20°C (табл. 1 [2]).

Потери напора состоят из потерь во всасывающей и нагнетающей линиях :

hw=h1+h2 (2)

где h1 и h2 – потери напора во всасывающем и напорном трубопроводах соответственно.

Потери напора во всасывающей линии по формуле Вейсбаха-Дарси :

h1= (3)

где λ1 – коэффициент гидравлического трения.

Согласно (3) потери напора во всасывающей линии :

h1= (4)

Аналогично, потери напора в нагнетающей линии :

h2= (5)

С учётом (4) и (5) выражение (2) примет вид :

hw=19.6Q2+381.1Q2=400.7Q2 (6)

С учётом (6) и заданных числовых значений, формула (1) примет вид :

Hн=7+400.7Q2 (7)

Для построения характеристики Hн=f(Q) по уравнению (7) составим таблицу.

Q, л/с	0	10	30	50	65
Hн, м	7	7.04	7.4	8	8.7

По полученным значениям строим зависимость Hн=f(Q) (линия 3).

Пересечение линии 1 с линией 3 даёт точку А – рабочая точка насоса. По графику определяем расход насоса Q=64 л/с. По графику определяем необходимый напор насоса : H=8.8 м и к.п.д. насоса : η=72%.

Мощность насоса :

N= (8)

Вычисления по формуле (8) дают :

N= Вт.

При уменьшении подачи на 25% - Q=48 л/с, напор равен H/=12.5 м.

Мощность насоса :

N/= Вт.

уменьшится в 1.1 раза.

где η=82% определяется по графику 3, при Q=48 л/с.

Ответ : Q=64 л/с ; H=8.8 м ; N=7658 Вт.

№ 69.

Перемещение поршней гидроцилиндров с диаметром D=25 см осуществляется подачей рабочей жидкости (ν=1.5 см2/с, γ=14000 Н/м3) по трубам 1 и 2 одинаковой эквивалентной длины l=20 м и диаметром d=5 см. определить силу F2, при которой скорость второго поршня была бы в два раза больше скорости первого поршня. Расход в магистрали Q, первый поршень нагружен силой F1.

Указание. На перемещение поршней затрачивается одинаковый суммарный напор (считая от точки А).

Дано : F1=9.6 кН ; Q=10.5 л/с.

Найти : F2.

Решение.

Суммарный напор в точке А линии 1 :

HA1= (1)

где p/1 – давление в точке А линии 1 ; v/1 – скорость рабочей жидкости в линии 1.

Суммарный напор в точке А линии 2 :

HA2= (2)

где p12 – давление в точке А линии 2 ; v/2 – скорость рабочей жидкости в линии 2.

По условию HA1=HA2, тогда, приравнивая правые части уравнений (1) и (2), получим :

= (3)

Давление, создаваемое в точке А линий 1 и 2 затрачивается на потери давления в линиях и 2, на создание давлений в камерах поршней, для их перемещения.

p/1=p1+Δp1 (4)

p/2=p2+Δp2 (5)

где p1 и p2 – давление рабочей жидкости цилиндрах 1 и 2 соответственно ; Δp1 и Δp2 - потери давления в линиях 1 и 2 соответственно.