Пример решения задачи по теоретической механике - динамика

ЗАДАНИЕ Д3-0/0

Дано: 2 кг, 6 кг, 12 кг, r=0,4 м, R=0,8 м, , .

Найти: – закон движения плиты

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим механическую систему, состоящую из плиты и грузов и , в произвольном положении. Действующие на систему внешние силы – силы тяжести , , и реакция направляющих . Проводим координатные оси. Точка – положение центра масс в момент времени .

Для определения воспользуемся теоремой о движении центра масс системы.  Составим дифф. уравнение его движения в проекции на ось х. Получим

или

т. к. , поскольку все действующие на систему внешние силы вертикальны.

После интегрирования найдем, что , т. е. проекция скорости центра масс системы на эту ось есть величина постоянная. Т. к. при то . Интегрируя уравнение , получим

, (*)

т. е. центр масс системы вдоль оси Ох не перемещается.

По формуле для координаты центра масс системы , где . Из рисунка видно, что в произвольный момент времени абсциссы грузов равны соответственно , . Тогда

или

.

В соответствии с равенством (*) координаты центра масс всей системы в начальном и произвольном положениях будут одинаковы. Следовательно, учитывая, что при , получим

.

Отсюда получаем зависимость от времени координаты

или

и окончательно