Примеры решения задачи по строительной механике(расчет составной балки)

Задача 32 (300).

Для балки требуется :

1. Используя индивидуальный шифр выбрать : расчётную схему балки, её размеры, действующую нагрузку.

2. Провести кинематический анализ балки, построив её этажную схему.

3. Рассчитать отдельные простые балки и построить для них эпюры М и Q.

4. Построить эпюры усилий для исходной составной балки.

5. Построить линии влияния : двух опорных реакций (по собственному выбору), двух изгибающих моментов Mi, Mk и двух поперечных сил Qi, Qk (номера точек i, k даются в таблице).

6. Загрузить одну из линий влияния (по выбору) заданной нагрузкой, определить по ней соответствующие усилие и сравнить его со значением, полученным в п. 3.

Дано :

№ схемы

№ загружения

L1 ,

L2 ,

L3,

а,

F1,

кН

F2,

кН

кН/м

4.5

5.1

Решение.

1. Составляем расчётную схему балки.

2. Кинематический анализ схемы, построение её этажной схемы.

Степень свободы балки по формуле :

W=3Д-2Ш-С0

где Д – число дисков ; Ш – число простых шарниров ; C0 – число опорных связей.

В нашем случае : Д=3 ; Ш=2 ; C0=5.

Тогда степень свободы балки :

W=3×3-2×2-5=9-4-5=0

На рисунке 1 построена поэтажная схема. Составная балка состоит из трёх дисков : DN – основная балка, к которой присоединены второстепенные – AD и NH.

Таким образом, балка не подвижна, геометрически неизменяема и статически определима.

3. Рассчитаем отдельные простые балки и построим эпюры М и Q.

Балка NH. Определим опорные реакции :

ΣmL=0 ; -

RN= кН

ΣmN=0 ;

RL= кН

Контроль :

ΣY=RL+RN-q(2L3/3+a)=11.12+42.88-10×(3.4+2)=0

Запишем выражения Q и М для каждого участка.

Участок NL : 0<x1<3.4 м (ход слева)

Q1=RN-qx1 ; M1=RNx1-0.5qx12

Участок LH : 0<x2<2 м (ход справа)

Q2=qx2 ; M2=-0.5qx22

Находим значения Q и М в характерных точках балки.

Участок NL : при x1=0

QN=RN=11.12 кН ; MN=0

при x1=3.4 м

QLл=RN-3.4q=11.12-3.4×10=-22.88 кН ;

MLл=3.4RN-0.5q·3.42=3.4×11.12-0.5×10×3.42= -20 кН·м

На участке NL эпюра М ограничена параболой, имеющей экстремум. Найдём абсциссу сечения, где момент имеет экстремум из условия Q1=RN-qx0=0 ; x0=RN/q=11.12/10=1.1 м.

Значение экстремального момента :

Mэкс=RNx0-0.5qx02=11.12×1.1-0.5×10×1.12=6.2 кН·м

Участок LH : при x2=2 м

QLпр=2q=2×10=20 кН ; MLпр=-0.5q·22=-0.5×10×22=-20 кН·м

при x2=0

QH=0 ; MH=0

На основании вычислений эпюры Q и М построены на рисунке 2.

Балка AD. Определим опорные реакции.

ΣmD=0 ;

RB= кН

ΣmB=0 ;

RD= кН

Контроль :

ΣY=RB+RD-F1-qa=50+20-50-10×2=0

Запишем выражения Q и М для каждого участка.

Участок AB : 0<x1<2 (ход слева).

Q1= -qx1 ; M1=-0.5qx12

Участок BC : 2<x2<4 (ход лева).

Q2=-qa+RB ; M2=-qa(x2-0.5a)+RB(x2-a)

Участок CD : 0<x3<2 (ход справа).

Q3=-RD ; M3=RDx3

Находим Q и М в характерных точках балки.

Участок AB : при x1=0

QA=0 ; MA=0

при x1=2 м

QBл=-2q=-2×10= -20 кН ; MBл=-0.5q·22=-0.5×10×4= -20 кН·м

Участок BC : при x2=2

QBпр=-qa+RB=-10×2+50=30 кН ;

MBпр=-qa(2-0.5a)+RB(2-a)=-10×2×1=-20 кН·м

при x2=4

QCл=-qa+RB=-10×2+50=30 кН ;

MCл=-qa(4-0.5a)+RB(4-a)=-10×2×(4-1)+50×(4-2)=40 кН·м

Участок CD : при x3=2

QCпр=-RD=-20 кН ; MCпр=2RD=2×20=40 кН·м

при x3=0

QD=-RD=-20 кН ; MD=0

Эпюры Q и М построены на рисунке 2.

Балка DN. Определим опорные реакции.

ΣmM=0 ;

RE=

кН

ΣmE=0 ;

RM=

кН

Контроль :

ΣY=-RD+RE-F2+RM-1.7q-RN= -20+40.14-28+35.98-1.7×10-11.12=0

Запишем выражения Q и М для каждого участка.

Участок DE : 0<x1<2 (ход слева)

Q1= -RD ; M1=-RDx1

Участок EF : 2<x2<3.5 (ход слева)

Q2=-RD+RE ; M2=-RDx2+RE(x2-L1/3)

Участок FM : 1.7<x3<4.7 (ход справа)

Q3=qL3/3+RN-RM ; M3=-RNx3-q(L3/3)(x3-0.5L3/3)+RM(x3-L3/3)

Участок MN : 0<x4<1.7

Q4=qx4+RN ; M4=-0.5qx42-RNx4

Находим Q и М в характерных точках балки.

Участок DE : при x1=0

QD=-RD=-20 кН ; MD=0

при x1=2 м

QEл=-RD=-20 кН ; MEл=-2RD=-2×20=-40 кН·м

Участок EF : при x2=2 м

QEпр=-RD+RE=-20+40.14=20.14 кН ;

MEпр=-2RD+RE(2-2)=-2×20=-40 кН

при x2=3.5 м

QFл=-RD+RE=-20+40.14=20.14 кН

MFл=-3.5RD+RE(3.5-2)=-3.5×20+40.14×1.5=-9.79 кН·м

Участок FM : при x3=4.7 м

QFпр=qL3/3+RN-RM=10×1.7+11.12-35.98= -7.86 кН

MFпр=-4.7RN-q(L3/3)(4.7-0.5L3/3)+RM(4.7-L3/3)=

=-4.7×11.12-1.7×10×(4.7-0.5×1.7)+35.98×(4.7-1.7)= -9.77 кН·м

при x3=1.7 м

QMл=qL3/3+RN-RM=10×1.7+11.12-35.98=-7.86 кН

MMл=-1.7RN-q(L3/3)(1.7-0.5L3/3)+RM(1.7-L3/3)=

=-1.7×11.12-10×1.7×(1.7-0.5×1.7)= -33.35 кН·м

Участок MN : при x4=1.7

QMпр=1.7q+RN=1.7×10+11.12=28.12 кН

MMпр=-0.5q·1.72-1.7RN=-0.5×10×1.72-1.7×11.12=-33.35 кН·м

при x4=0

QN=RN=11.12 кН

MN=0

Эпюры Q и М построены на рисунке 2.

4. Эпюры Q и М для исходной составной балки.

Объединяя эпюры Q и М, построенные для каждой простой балки в одну, получим эпюры Q и М для исходной составной балки.

Эпюры Q и М для составной балки построены на рисунке 3.

5. Построение линий влияния.

Построение линии влияния реакции RB.

Располагаем начало координат в точке B. Пусть сила P=1 движется по балке AD. Тогда уравнение равновесия балки :

ΣMD=0 ; -4RB+P(4-x)=0

Отсюда уравнение линии влияния RB на участке AD имеет вид :

RB==1-x/4

Строим линию влияния RB по двум точкам :

при x=0 (сила P располагается в точке B) – RB=1

при x=4 (сила P располагается в точке D) – RB=0

Найдём ординату линии влияния в точке А :

при x=-2 (сила P располагается в точке А) – RB=1.5

При движении силы P=1 по участкам DN и NH RB=0, так как при положениях груза P=1 на этих участках балка AD не работает. Линия влияния RB построена на рисунке 4.

Построение линии влияния RE.

При расположении силы P=1 на участке DN уравнение линии влияния RE найдём из уравнения равновесия балки :

ΣMM=0 ; -4.5RE+P(10.5-x)=0

RE=

Эту линию строим по двум точкам :

при x=6 (сила P располагается в точке Е) – RE=1 ;

при x=10.5 (сила P располагается в точке М) – RE=0

Определим ординаты линии влияния RE в точках D и N :

при x=4 (сила P находится в точке D) – RE=1.4

при x=12.2 (сила P находится в точке N) – RE=-0.4

Линию влияния RE на участке AD строим по двум точкам. В точке D ордината линии влияния участка AD совпадает с ординатой линии влияния участка DN. В точке B – RE=0. Через эти точки проводим линию влияния RE на участке AD.

Определим ординату линии влияния в точке А.

RE=1.4RD, где RD – реакция в точке D. Определим её из уравнения равновесия балки AD :

4RD-Px=0 ; RD=x/4

Тогда уравнение линии влияния на участке AD имеет вид :

RE= ; при x=-2 (сила P располагается в точке А) – RE=-0.7

Аналогично строим линию влияния на участке NH. В точке N – RE=-0.4 ; в точке L – RE=0. Найдём ординату линии влияния в точке H.

RE=-0.4RN , где RN – реакция в точке N. Определим её из уравнения равновесия балки NH :

-3.4RN+P(15.6-x)=0 ; RN= - уравнение линии влияния на участке NH.

при x=17.6 (сила P располагается в точке H) – RE=

Линия влияния RE построена на рисунке 4.

Построение линии влияния изгибающего момента в сечении 3 (левее точки Е, бесконечно близко к ней).

При движении P=1 по участку DE левее точки 3, рассматривая равновесие левой отсечённой части (относительно точки 3) балки DN, имеем :

M3=-P(2-x)=-(2-x)

при x=0 (точка D) – M3=-2 м ; при x=2 м (точка Е) – M3=0.

По этим точкам строим линию влияния М3 на участке DE.

При движении P=1 по участку ED правее точки 3, рассматривая равновесие левой отсечённой части балки DN, имеем :

M3=0

При движении P=1 по участку EN балки DN и по балки NH, рассматривая равновесие левой отсечённой части балки DN, также получим : M3=0. Т.е. на участках EN и NH линия влияния совпадает с осью абсцисс.

При движении P=1 по балке AD М3=-2RD, где RD находим из уравнения равновесия балки AD :

ΣmB=0 ; -P(-4-x)-4RD=0 ; RD=

Тогда уравнение линии влияния М3=

при x=0 (точка D) – M3=-2 м ; при x=-4 м (точка B) – M3=0 ; при x=-6 м (точка А) – М3=1 м.

Линия влияния М3 построена на рисунке 5.

Построение линии влияния поперечной силы Q3 в сечении 3 (левее точки Е, бесконечно близко к ней).

Линия влияния Q3 строится аналогично линии влияния М3.

Q3=-P=-1

Т.е. на участке DE линия влияния Q3 параллельна оси абсцисс.

Для построения л.в. на участке AD поступим следующим образом : ординату точки D (y=-1) соединим с ординатой точки B (y=0) и продолжим до пересечения с ординатой точки А. Ординату точки А найдём из подобия треугольников : yA=2×1/4=0.5

При движении P=1 по участку DE, правее точки 3, а также по участкам EN и NH, рассматривая равновесие левой отсечённой части балки DN, имеем Q3=0

Линия влияния Q3 построена на рисунке 5.

Построение линии влияния изгибающего момента М8 в сечении 8 (левее точки М, бесконечно близко от неё).

При движении P=1 по участку DM левее точки 8 и по участку AD – М8=0 (линия влияния совпадает с осью абсцисс). Это следует из рассмотрения равновесия правой отсечённой части MN :

M8=MM=RM·0=0

При движении P=1 по участку MN правее точки 8, рассматривая равновесие правой отсечённой части MN балки DN, имеем :

M8=RM·0-Px=-x

при x=0 (точка М) – М8=0 ; при x=1.7 м (точка N) – M8=-1.7 м

При движении P=1 по участку NH, рассматривая равновесие правой отсечённой части MN балки DN, имеем :

M8=-1.7RN

где RN находим, рассматривая равновесие участка NH.

ΣmL=0 ; -3.4RN+P(5.1-x)=0 ; RN=

M8=

при x=1.7 (точка N) – M8=-1.7 м ; при x=5.1 (точка L) – M8=0 ; при x=7.1 м (точка H) – M8=1 м.

Линия влияния М8 построена на рисунке 6.

Построение линии влияния поперечной силы Q8 в сечении 8 (левее точки М, бесконечно близко к ней).

Линия влияния Q8 строится аналогично линии влияния М8.

При движении P=1 по участку DM (с лево от точки 8), рассматривая равновесие правой отсечённой части (MN) балки DN, имеем :

Q8=-RM=

где RM находим из уравнения равновесия, составленного для балки DN :

ΣME=0 ; -P(x-2)+4.5RM=0 ; RM=

при x=0 (точка D) – Q8=0.4 ; при x=2 м (точка Е) – Q8=0 ; при x=6.5 м (точка M) – Q8=-1 ; при x=8.2 м (точка N) – Q8=-1.4

По полученным данным строим левую прямую л.в. Q8, при движении P=1 по балке DM.

Для построения л.в., при движении P=1 по балке AD поступаем следующим образом : соединяем ординату точки D (0.4) с ординатой точки B (y=0) и, продолжаем эту прямую до пересечения с ординатой точки А. Ординату точки А находим из подобия треугольников : ; yA=2×0.4/4=0.2. Таким образом, левая прямая л.в. построена.

При движении P=1 по участку MN (с право от точки 8), рассматривая равновесие левой отсечённой части (DM), балки DN, имеем :

Q8=-RE=

где RE находим из уравнения равновесия, составленного для балки DN :

ΣmM=0 ; -P(x-6.5)+4.5RE=0 ; RE=

при x=0 (точка D) – Q8=1.4 ; при x=6.5 м (точка М) – Q8=0 ; при x=8.2 м (точка N) –

Q8= -0.4.

По полученным данным строим правую прямую л.в. Q8, при движении P=1 по участку MN. Для построения л.в., при движении P=1 по балке NH поступаем следующим образом : соединяем ординату точки N (-0.4) с ординатой точки L (y=0) и, продолжаем эту прямую до пересечения с ординатой точки H. Ординату точки H найдём из подобия треугольников : yH=2×0.4/3.4=0.24. Таким образом, правая прямая л.в. Q8 – построена. Линия влияния Q8 приведена на рисунке 6.

6. Определение поперечной силы QE в сечении Е по линии влиянии от заданно нагрузки.

QE=

где y – ордината линии влияния под сечением с сосредоточенной нагрузкой P ; ω - площадь участка линии влияния под нагрузкой q ; α – угол наклона линии влияния в месте приложения сосредоточенного момента.

Тогда (см. рисунок 7) :

QE= кН

На эпюре Q, при движении слева : QE=-20 кН