Пример решения задачи по строительной механике - расчет шпренгельной фермы

Ниже приведено решение задачи. Закачка решения в формате doc начнется автоматически через 10 секунд.

 

                                        1. Исходные данные

Согласно задания: Неподвижная нагрузка: Постоянная нагрузка – узловая нагрузка F = 40 кН, приложенная к узлам верхнего и нижнего пояса, исключая опорные. Длинна панели d = 3,6 м . Высота t = 2,4 м. Исследуемые стержни – первая и вторая панель слева.

  2. Кинематический анализ.

 

W=2У – Сф – Соп =  2 · 16 – 31 – 3 = 0,

Следовательно, ферма статически определима.

Здесь

У=16 число узлов фермы, включая опорные;

Сф = 29 число стержней фермы;

Соп = 3 число опорных связей.

 

 

 

      Рис.1

 

 

 

 

3. Определение опорных реакций от неподвижной нагрузки.

Поскольку ферма симметрична и нагружена симметричной нагрузкой:

 

Рис.2 Расчетная схема заданной фермы.

 

  4. Определение усилий в стержнях фермы. (аналитически)   

Стержни шпренгельной фермы бывают трех категорий

  1. Стержни принадлежат только основной ферме. Усилия в этих стержнях определяются расчетом только основной фермы.

В нашей ферме – это исследуемые стержни (2-4, 4-5, 5-7, 7-9, 6-9, 8-9).

  1. Стержни принадлежащие одновременно, как основной ферме, так и дополнительной  (шпренгелю). Усилия в этих стержнях определяются как сумма двух усилий. Одно усилие, возникающее в стержне основной фермы, второе – в слившемся с ним шпренгеле.

В нашей ферме – это исследуемые стержни (1-3, 1-2, 3-5, 4-6, 4-8).

     3. Стержни принадлежащие только дополнительной ферме (шпренгелю).

         Шпренгель рассматриваем как самостоятельную двухопорную ферму.

 

         Усилие в этих стержнях определяется только от нагрузки приложенной

          непосредственно к шпренгелю.

В нашей ферме – это исследуемые стержни (2-3, 2-5, 6-7, 6-8).

Разделим ферму на основную и дополнительные (шпренгели).

 Рис.3. Основная ферма.

Рис.4. Дополнительные фермы (шпренгели).

 Определим усилия в основной ферме.

Предварительно определим функции углов в ферме.

 

   

 

  

  

 

 

 

Усилие в стержне (1-4). Усилие находим методом сечений. Рассекаем ферму (сечение I-I)(рис.3) и рассматриваем равновесие левой части фермы. Составим уравнение равновесия относительно моментной точки 5.(рис. 5).
 

   Рис.5 

Плечо силы относительно т. 5:

 

Усилие в стержне 1-5. Усилие находим методом сечений. Рассекаем    ферму (сечение I-I)(рис.3) и рассматриваем равновесие левой части фермы. Составим уравнение равновесия относительно моментной точки 4. (рис5).

Плечо силы относительно т. 4:

 

  

Усилие в стержне 4-5). Усилие находим методом сечений. Рассекаем ферму (сечение II-II)(рис.3) и рассматриваем равновесие левой части фермы. Составим уравнение равновесия относительно моментной точки С.(рис. 6).

   Рис.6

  Плечо силы относительно т. С:

 

 

Усилие в стержне 4-9. Усилие находим методом сечений. Рассекаем ферму (сечение III-III)(рис.3) и рассматриваем равновесие левой части фермы. Составим уравнение равновесия относительно оси У. (рис.7).

 

 

    Рис.7

     

Усилие в стержне 5-9. Усилие находим методом сечений. Рассекаем ферму (сечение III-III)(рис.3) и рассматриваем равновесие левой части фермы. Составим уравнение равновесия относительно моментной точки 4.(рис. 7).

Плечо силы относительно т. 4:

 

Усилие в стержне 4-8. Усилие находим методом сечений. Рассекаем ферму (сечение III-III)(рис.3) и рассматриваем равновесие левой части фермы. Составим уравнение равновесия относительно моментной точки 9.(рис. 7).

Плечо силы относительно т. 9:

 

Усилие в стержне 8-9. Усилие находим методом сечений. Вырезаем узел 8 (рис.3) и рассматриваем его равновесие. Составим уравнение равновесия относительно осей хОу. (рис.8).

   Рис.8

 

 

Определим усилия в стержнях дополнительной фермы.

Из заданной расчетной схемы (рис.2) выделим шпренгель первой панели слева (рис.9.1.).

 Рис.9.1.       Рис.9.2.      Рис.9.3.

Рассмотрим его как ферму на двух опорах ( опоры – узлы 1 и 5).

  

Усилие в стержне 1-2(2-5). Усилие находим методом сечений. Вырезаем узел 1 и рассматриваем его равновесие. Составим уравнение равновесия относительно осей хОу. (рис.9.2.).

 

Усилие в стержне 1-3(3-5). Усилие находим методом сечений. Вырезаем узел 1 и рассматриваем его равновесие. Составим уравнение равновесия относительно осей хОу. (рис.9.2.).

 

 Усилие в стержне 2-3. Усилие находим методом сечений. Вырезаем узел 3 и рассматриваем его равновесие. Составим уравнение равновесия относительно осей хОу. (рис.9.3.).

 

 

 

 

 

Из заданной расчетной схемы (рис.2) выделим шпренгель второй панели слева (рис.10.1.).

 Рис.10.1.       Рис.10.2.       Рис.10.3.   Рис.10.4.

 Усилие в стержне 4-8, 4-6. Усилия находим методом сечений. Вырезаем узел 4 и рассматриваем его равновесие. Составим уравнения равновесия относительно осей хОу. (рис.10.2.).

Тогда,  

Усилие в стержне 6-7. Усилие находим методом сечений. Вырезаем узел 7 и рассматриваем его равновесие. Составим уравнение равновесия относительно оси у. (рис.10.3.).

 

Усилие в стержне 6-8. Усилие находим методом сечений. Вырезаем узел 8 и рассматриваем его равновесие. Составим уравнение равновесия относительно оси у. (рис.10.4.).

 

 

Определим усилия в заданной расчетной схеме.

 

Стержень

Основная ферма

Шпренгель

Заданная ферма

1-3

135

15

150

3-5

135

15

150

1-2

-225

-25

-250

2-4

-225

-

-225

2-3

-

40

40

2-5

-

-25

-25

4-5

-30

-

-30

5-7

162,41

-

162,41

7-9

162,41

-

162,41

4-6

108,17

18,03

126,2

6-9

108,17

-

108,17

4-8

-216,54

-18,03

-234,57

6-7

-

40

40

6-8

-

14,28

14,28

8-9

160,23

-

160,23

 

 

 

6. Построение линий влияния.

Линии влияния для полной фермы строим как геометрическую сумму линии влияния  основной фермы и линии влияния              от дополнительной фермы (шпренгеля).

Линия влияния усилия в опоре А.

Груз на опоре А

Груз на опоре В

Над опорой А откладываем единицу и соединяем с нулем над опорой В.

Получили линию влияния усилия в опоре 17.

Линия влияния усилия в опоре В.

Груз на опоре А

Груз на опоре В

Над опорой В откладываем единицу и соединяем с нулем над опорой А.

Получили линию влияния усилия в опоре В.

 

 Линия влияния N1-2.

Основная ферма.

Используем метод сечений. Рассекаем ферму (сечение I-I) Составим уравнение равновесия относительно моментной точки 5.(рис. 11).

Груз справа. Рассматриваем равновесие левой части фермы (рис.11). Составляем уравнение равновесия – сумма моментов относительно моментной точки 5.

 

То есть линия влияния представляет собой линию влияния усилия реакции RA, все ординаты которой умножены на (-1,25). Над опорой А откладываем (-1,25), соединяем с нулем над опорой В.

Получили правую ветвь линии влияния усилия .

Груз слева. Рассматриваем равновесие правой части фермы (рис.11). Составляем уравнение равновесия – сумма моментов относительно моментной точки 5.

  

То есть линия влияния представляет собой линию влияния усилия реакции RB, все ординаты которой умножены на (-3.75). Над опорой В откладываем

(-3,75), соединяем с нулем над опорой А.

Получена левая ветвь линии влияния .

Строим передаточную прямую, расположенную под рассеченной панелью. Левый узел 1 рассеченной панели сносим на левую ветвь, правый узел 4  на правую ветвь. Соединяем эти точки и получаем передаточную прямую.

Ветви пересекаются под моментной точкой 5.

Шпренгель.

Из заданной расчетной схемы (рис.2) выделим шпренгель первой панели

 

слева (рис.9.1.). Усилие находим методом сечений. Вырезаем узел 1 и рассматриваем его равновесие. Составим уравнение равновесия относительно оси у. (рис.9.2.).

Единичная сила в узле 1. 

Единичная сила в узле 5. 

Единичная сила в узле 3.

Геометрически суммируем линии влияния основной и дополнительной ферм.

Определение значения усилия по линиям влияния.

 

 

Рис.11

 

Линия влияния N2-4.

Основная ферма.

Используем метод сечений. Рассекаем ферму (сечение I-I) Составим уравнение равновесия относительно моментной точки 5.(рис. 12).

Груз справа. Рассматриваем равновесие левой части фермы (рис.12). Составляем уравнение равновесия – сумма моментов относительно моментной точки 5.

 

То есть линия влияния представляет собой линию влияния усилия реакции RA, все ординаты которой умножены на (-1,25). Над опорой А откладываем (-1,25), соединяем с нулем над опорой В.

Получили правую ветвь линии влияния усилия .

Груз слева. Рассматриваем равновесие правой части фермы (рис.12). Составляем уравнение равновесия – сумма моментов относительно моментной точки 5.

  

То есть линия влияния представляет собой линию влияния усилия реакции RB, все ординаты которой умножены на (-3.75). Над опорой В откладываем

(-3,75), соединяем с нулем над опорой А.

Получена левая ветвь линии влияния .

Строим передаточную прямую, расположенную под рассеченной панелью. Левый узел 1 рассеченной панели сносим на левую ветвь, правый узел 4  на правую ветвь. Соединяем эти точки и получаем передаточную прямую.

Ветви пересекаются под моментной точкой 5.

Шпренгель.

Стержень 2-4 принадлежит только основной ферме.

 

Линия влияния N2-5.

Основная ферма.

Стержень 2-5 принадлежит только шпренгелю.

Шпренгель.

Из заданной расчетной схемы (рис.2) выделим шпренгель первой панели

слева (рис.9.1.). Усилие находим методом сечений. Вырезаем узел 5 и рассматриваем его равновесие. Составим уравнение равновесия относительно оси у. (рис.9.2.).

Единичная сила в узле 1. 

Единичная сила в узле 5. 

Единичная сила в узле 3.

 

 

Рис.12

 

Линия влияния N1-3(N3-5).

Основная ферма.

Используем метод сечений. Рассекаем ферму (сечение I-I) Составим уравнение равновесия относительно моментной точки 4.(рис. 13).

Груз справа. Рассматриваем равновесие левой части фермы (рис.13). Составляем уравнение равновесия – сумма моментов относительно моментной точки 4.

  

То есть линия влияния представляет собой линию влияния усилия реакции RA, все ординаты которой умножены на (0.75). Над опорой А откладываем (0.75), соединяем с нулем над опорой В.

Получили правую ветвь линии влияния усилия .

Груз слева. Рассматриваем равновесие правой части фермы (рис.13). Составляем уравнение равновесия – сумма моментов относительно моментной точки 4.

  

То есть линия влияния представляет собой линию влияния усилия реакции RB, все ординаты которой умножены на (2.25). Над опорой В откладываем

(2.25), соединяем с нулем над опорой А.

Получена левая ветвь линии влияния .

Строим передаточную прямую, расположенную под рассеченной панелью. Левый узел 1 рассеченной панели сносим на левую ветвь, правый узел 4  на правую ветвь. Соединяем эти точки и получаем передаточную прямую.

Ветви пересекаются под моментной точкой 4.

Шпренгель.

Из заданной расчетной схемы (рис.2) выделим шпренгель первой панели

слева (рис.9.1.). Усилие находим методом сечений. Вырезаем узел 1 и рассматриваем его равновесие. Составим уравнение равновесия относительно оси у. (рис.9.2.).

Единичная сила в узле 1. 

 

Единичная сила в узле 5. 

Единичная сила в узле 3.

 Учитывая что

 

Геометрически суммируем линии влияния основной и дополнительной ферм.

Определение усилия по линиям влияния

 

Рис.13

 

Линия влияния N4-5.

Основная ферма.

Используем метод сечений. Рассекаем ферму (сечение II-II) Составим уравнение равновесия относительно моментной точки C.(рис. 14).

Груз справа. Рассматриваем равновесие левой части фермы (рис.14). Составляем уравнение равновесия – сумма моментов относительно моментной точки 4.

  

То есть линия влияния представляет собой линию влияния усилия реакции RA, все ординаты которой умножены на (-0,5). Над опорой А откладываем (-0,5), соединяем с нулем над опорой В.

Получили правую ветвь линии влияния усилия .

Груз слева. Рассматриваем равновесие правой части фермы (рис.14). Составляем уравнение равновесия – сумма моментов относительно моментной точки C.

  

То есть линия влияния представляет собой линию влияния усилия реакции RB, все ординаты которой умножены на (2,5). Над опорой В откладываем (2,5), соединяем с нулем над опорой А.

Получена левая ветвь линии влияния .

Передаточная прямая при езде по верху.

Строим передаточную прямую, расположенную под рассеченной панелью. Левый узел 2 рассеченной панели сносим на левую ветвь, правый узел 4  на правую ветвь. Соединяем эти точки и получаем передаточную прямую.

Ветви пересекаются под моментной точкой С.

Передаточная прямая при езде по низу.

Строим передаточную прямую, расположенную под рассеченной панелью. Левый узел 5 рассеченной панели сносим на левую ветвь, правый узел 7  на правую ветвь. Соединяем эти точки и получаем передаточную прямую.

Ветви пересекаются под моментной точкой С.

Шпренгель.

Стержень 4-5 принадлежит только основной ферме.

 

Линия влияния N2-3.

Основная ферма.

Стержень 2-3 принадлежит только шпренгелю.

Шпренгель.

Из заданной расчетной схемы (рис.2) выделим шпренгель первой панели

слева (рис.9.1.). Усилие находим методом сечений. Вырезаем узел 3 и рассматриваем его равновесие. Составим уравнение равновесия относительно оси у. (рис.9.2.).

Единичная сила в узле 1. 

Единичная сила в узле 5. 

Единичная сила в узле 3.

Рис.14

 

Линия влияния N5-7(N7-9).

Основная ферма.

Используем метод сечений. Рассекаем ферму (сечение III-III) Составим уравнение равновесия относительно моментной точки 4.(рис. 15).

Груз справа. Рассматриваем равновесие левой части фермы (рис.15). Составляем уравнение равновесия – сумма моментов относительно моментной точки 4.

  

То есть линия влияния представляет собой линию влияния усилия реакции RA, все ординаты которой умножены на (0.902). Над опорой А откладываем (0.902), соединяем с нулем над опорой В.

Получили правую ветвь линии влияния усилия .

Груз слева. Рассматриваем равновесие правой части фермы (рис.15). Составляем уравнение равновесия – сумма моментов относительно моментной точки 4.

  

То есть линия влияния представляет собой линию влияния усилия реакции RB, все ординаты которой умножены на (2,707). Над опорой В откладываем

(2,707), соединяем с нулем над опорой А.

Получена левая ветвь линии влияния .

Строим передаточную прямую, расположенную под рассеченной панелью. Левый узел 5 рассеченной панели сносим на левую ветвь, правый узел 9  на правую ветвь. Соединяем эти точки и получаем передаточную прямую.

Ветви пересекаются под моментной точкой 4.

Шпренгель.

Стержень 5-7(7-9) принадлежит только основной ферме.

 

Определение усилия по линиям влияния

 

 

Линия влияния N6-7.

Основная ферма.

Стержень 6-7 принадлежит только шпренгелю.

Шпренгель.

Из заданной расчетной схемы (рис.2) выделим шпренгель второй панели

слева (рис.10.1.). Усилие находим методом сечений. Вырезаем узел 7 и рассматриваем его равновесие. Составим уравнение равновесия относительно оси у. (рис.10.3.).

Единичная сила в узле 5. 

Единичная сила в узле 9. 

Единичная сила в узле 3.

Рис.15

 

Линия влияния N4-6

Основная ферма.

Используем метод сечений. Рассекаем ферму (сечение III-III) Составим уравнение равновесия относительно оси у.(рис. 16).

Груз справа. Рассматриваем равновесие левой части фермы (рис.16). Составляем уравнение равновесия – сумма проекций всех сил на ось у.

       

То есть линия влияния представляет собой линию влияния усилия реакции RA, все ординаты которой умножены на (1,803). Над опорой А откладываем (1,803), соединяем с нулем над опорой В.

Получили правую ветвь линии влияния усилия .

Груз слева. Рассматриваем равновесие правой части фермы (рис.16). Составляем уравнение равновесия – сумма проекций всех сил на ось у.

  

То есть линия влияния представляет собой линию влияния усилия реакции RB, все ординаты которой умножены на (-1,803). Над опорой В откладываем

(-1,803), соединяем с нулем над опорой А.

Получена левая ветвь линии влияния .

Строим передаточную прямую, расположенную под рассеченной панелью. Левый узел 5 рассеченной панели сносим на левую ветвь, правый узел 9  на правую ветвь. Соединяем эти точки и получаем передаточную прямую.

Шпренгель.

Из заданной расчетной схемы (рис.2) выделим шпренгель второй панели

слева (рис.10.1.). Усилие находим методом сечений. Вырезаем узел 7 и рассматриваем его равновесие. Составим уравнение равновесия относительно осей хоу. (рис.10.2.).

 

Единичная сила в узле 5. 

Единичная сила в узле 9. 

Единичная сила в узле 7.

Геометрически суммируем линии влияния основной и дополнительной ферм

 

 

 

 

 

Рис.16

 

Линия влияния N6-9

Основная ферма.

Используем метод сечений. Рассекаем ферму (сечение III-III) Составим уравнение равновесия относительно оси у.(рис. 17).

Груз справа. Рассматриваем равновесие левой части фермы (рис.17). Составляем уравнение равновесия – сумма проекций всех сил на ось у.

       

То есть линия влияния представляет собой линию влияния усилия реакции RA, все ординаты которой умножены на (1,803). Над опорой А откладываем (1,803), соединяем с нулем над опорой В.

Получили правую ветвь линии влияния усилия .

Груз слева. Рассматриваем равновесие правой части фермы (рис.17). Составляем уравнение равновесия – сумма проекций всех сил на ось у.

  

То есть линия влияния представляет собой линию влияния усилия реакции RB, все ординаты которой умножены на (-1,803). Над опорой В откладываем

(-1,803), соединяем с нулем над опорой А.

Получена левая ветвь линии влияния .

Строим передаточную прямую, расположенную под рассеченной панелью. Левый узел 5 рассеченной панели сносим на левую ветвь, правый узел 9  на правую ветвь. Соединяем эти точки и получаем передаточную прямую.

Шпренгель.

Стержень 6-9 принадлежит только основной ферме.

Определение усилия по линиям влияния.

Линия влияния N6-8 (рис. 17)

Основная ферма.

Стержень 6-8 принадлежит только шпренгелю.

Шпренгель.

Из заданной расчетной схемы (рис.2) выделим шпренгель второй панели

слева (рис.10.1.). Усилие находим методом сечений. Вырезаем узел 7 и рассматриваем его равновесие. Составим уравнение равновесия относительно осей хоу. (рис.10.4.).

 

Единичная сила в узле 5. 

Единичная сила в узле 9. 

Единичная сила в узле 7.

Учитывая, что:

 

Определение усилия по линиям влияния.

Рис.17

 

Линия влияния N4-8

Основная ферма.

Используем метод сечений. Рассекаем ферму (сечение III-III) Составим уравнение равновесия относительно моментной точки 9.(рис. 18).

Груз справа. Рассматриваем равновесие левой части фермы (рис.18).

  

То есть линия влияния представляет собой линию влияния усилия реакции RA, все ординаты которой умножены на (-1,803). Над опорой А откладываем (-1,803), соединяем с нулем над опорой В.

Получили правую ветвь линии влияния усилия .

Груз слева. Рассматриваем равновесие правой части фермы (рис.18).

  

То есть линия влияния представляет собой линию влияния усилия реакции RB, все ординаты которой умножены на (-1,803). Над опорой В откладываем

(-1,803), соединяем с нулем над опорой А.

Получена левая ветвь линии влияния .

Строим передаточную прямую, расположенную под рассеченной панелью. Левый узел 5 рассеченной панели сносим на левую ветвь, правый узел 9  на правую

ветвь. Соединяем эти точки и получаем передаточную прямую.

Шпренгель.

Из заданной расчетной схемы (рис.2) выделим шпренгель второй панели

слева (рис.10.1.). Усилие находим методом сечений. Вырезаем узел 5 и рассматриваем его равновесие. Составим уравнение равновесия относительно осей хоу. (рис.10.2.).

Единичная сила в узле 5. 

Единичная сила в узле 9. 

 

Единичная сила в узле 7.

Геометрически суммируем линии влияния основной и дополнительной ферм

Определяем значение усилия по линиям влияния.

Рис.18

 

Линия влияния N8-9 (езда по верху)

Основная ферма.

Используем метод сечений. Рассекаем ферму (сечение III-III) Составим уравнение равновесия относительно моментной точки 9.(рис. 19).

Груз слева от узла 8. Рассматриваем равновесие левой части фермы (рис.19).

Учитывая что:  

То есть линия влияния представляет собой линию влияния усилия реакции RA, все ординаты которой умножены на (2). Над опорой А откладываем

(2), соединяем с нулем над опорой В.

Получили правую ветвь линии влияния усилия .

Груз слева. Рассматриваем равновесие правой части фермы (рис.19).

  

Учитывая что:  

То есть линия влияния представляет собой линию влияния усилия реакции RB, все ординаты которой умножены на (2). Над опорой В откладываем

(2), соединяем с нулем над опорой А.

Получена левая ветвь линии влияния .

 Груз в узле 8.

Учитывая что:  

То есть линия влияния (езда по верху) в точке 8 равна (-1).

Шпренгель.

Стержень 8-9 принадлежит только основной ферме.

 

Линия влияния N8-9 (езда по низу)

Основная ферма.

Используем метод сечений. Рассекаем ферму (сечение III-III) Составим уравнение равновесия относительно моментной точки 9.(рис. 19).

Груз слева от узла 8. Рассматриваем равновесие левой части фермы (рис.19).

Учитывая что:  

То есть линия влияния представляет собой линию влияния усилия реакции RA, все ординаты которой умножены на (2). Над опорой А откладываем

(2), соединяем с нулем над опорой В.

Получили правую ветвь линии влияния усилия .

Груз слева. Рассматриваем равновесие правой части фермы (рис.19).

  

Учитывая что:  

То есть линия влияния представляет собой линию влияния усилия реакции RB, все ординаты которой умножены на (2). Над опорой В откладываем

(2), соединяем с нулем над опорой А.

Получена левая ветвь линии влияния .

 

 

Шпренгель.

Стержень 8-9 принадлежит только основной ферме.

Определение усилия по линиям влияния.

     Рис.19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сравнительная таблица

 

Стержень

Определение аналитически

По линиям влияния

Невязка %

1-3

150

150

0

3-5

150

150

0

1-2

-250

-250

0

2-4

-225

-225

0

2-3

40

40

0

2-5

-25

-25

0

4-5

-30

-30

0

5-7

162,41

162,4

0,006

7-9

162,41

162,4

0,006

4-6

126,2

126,08

0,1

6-9

108,17

108,08

0,08

4-8

-234,57

-234,08

0,2

6-7

40

40

0

6-8

11,18

11,2

0,18

8-9

160,23

160

0,14

 

 

1

 

Имя файла: ferma.doc

Размер файла: 689 Kb

Если закачивание файла не начнется через 10 сек, кликните по этой ссылке