Расчет сжатого стержня на устойчивость.

 Требуется : 1. Подобрать поперечные размеры стержня при заданном допускаемом напряжении на сжатие [σ]=160 МПа ;

    2. Найти величину критической силы и коэффициент запаса устойчивости [ny] ;

    3. Вычертить поперечное сечение стойки в масштабе 1:1.

    4. Распечатать полученные результаты и приложить их к основному расчёту.

                                                                         Решение.

    1. Подберём поперечные размеры сечения.

    Определим  моменты инерции сечения относительно координатных осей x и y

               Jx==0.92a4

                Jy=

    Площадь сечения : F=2a×1.5a-a2=2a2

                ix==0.68a

                iy==0.49a

    Определим гибкость первого приближения.

                 λmax=μl/imin=0.5×0.75/(0.49a)=0.77/a

    Зададимся величиной a=0.005 м. Тогда значение гибкости первого приближения будет равно  λ=154. Пользуясь таблицей 9 заданий на контрольные работы, будем иметь следующие значения для проведения линейной интерполяции :

                 при λ=140 ; φ=0.36

                 при λ=160 ; φ=0.29

    С учётом этих данных для λ=154 , получим :

                 φ=0.29+0.31

    Напряжение в поперечном сечении стержня :  σp=

      σp==516×106=516 МПа>[σ]=160 МПа.

    Вычисления показывают, что стержень при данных размерах не устойчив.

    В связи с этим сделаем второе приближение, увеличив размер а.

    Зададим а=0.01 м. Тогда значение гибкости второго приближения будет равно :

                      λ=0.77/0.01=77.

    Пользуясь таблицей 9 заданий на контрольные работы, будем иметь следующие значения для проведения линейной интерполяции :

                 при λ=80 ; φ=0.75

                 при λ=90 ; φ=0.69

    С учётом этих данных для λ=77 , получим :

                 φ=0.69+0.71

    Напряжение в поперечном сечении :

                    σ==56.3×106 Па=56.3 МПа<160 МПа

    Вычисления подтверждают наличие устойчивого деформирования и отсутствия потери устойчивости при полученных размерах. Однако недонапряжение стойки в данном случае чрезмерное, поскольку :

      и составляет 65%, что является недопустимым.

    Зададим а=0.007 м. При этом значение гибкости третьего приближения будет равно :

             λ=0.77/0.007=110. Воспользовавшись таб. 9, получим :

                 при λ=110 ; φ=0.52

     Напряжение в поперечном сечении :

          σ==157×106 Па=157 МПа<160 МПа

      Проверяя возможное недонапряжение стойки, имеем :

      , что составляет 1.9%, что допустимо.

 

     2. Найдём величину критической силы и коэффициент запаса устойчивости [ny].

    По таблице 1 методических указаний, для материала Ст 3 λпред=100. Так как гибкость стержня λ=110>λпред, то для вычисления σкр следует использовать формулу Эйлера. Имеем :

                    σкр==163 МПа

    Площадь подобранного ранее сечения составляет F=2a2 , а именно

              F=2×0.0072=98×10-6 м2.

    Очевидно, что критическая нагрузка в рассматриваемом примере будет равна :

          Pкр=σкрF=163×103×98×10-6=16 кН.

    Поделив Pкр на P, получим искомую величину коэффициента запаса устойчивости :

                     [ny]=Pкр/P=16/8=2

    3. Вычертим поперечное сечение стойки в масштабе.

   Поперечное сечение стойки в масштабе 10:1 изображено на рисунке.