Пример решенной задачи по сопромату на расчет статически неопределимой балки
Задача №2
Для заданных схем нагружения построить эпюры внутренних усилий
а) для Приложения 9 из условия прочности на изгиб по нормальным напряжениям определить размеры поперечного сечения в форме круга, прямоугольника с соотношением сторон h/b= 2 и двутавра. Считать q, а, известными;
б) для Приложения 10 из условия прочности на изгиб по нормальным напряжениям определить безопасную нагрузку. Поперечное сечение – швеллер № 18. Считать q, а, известными;
Примечание: в приложении №11 сделать систему один раз статически неопределимую- одну связь убрать на усмотрение обучающегося.
Дано: = 125 Мпа, k= 5, b(m)= 4, c(n)= 3, a= 380 мм, q= 12 Н/мм.
Решение
а) Заданная схема один раз статически неопределима, т.к. неизвестных реакций 4, а уравнений статики – 3. Для расчета балки представляем ее как статически определимую, полученную из заданной в результате отбрасывания левой опоры. Балка, показанная на рисунке 2,б, является основной системой для заданной балки 2,а.
На основную систему (рис. 2,б) кроме заданных нагрузок, действует неизвестная реакция RB.
Для решения задачи используем метод начальных параметров. Составляем уравнения метода начальных параметров для сечения А:
; (1)
; (2)
Так как на правом конце балки угол поворота и прогиб равны нулю, то из уравнения (1):
откуда
Из уравнения (2):
Так как прогиб левого конца балки равен нулю, то
Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Построение начинаем со свободного левого конца.
При х=0 слева:
Q=0, М=0.
При х=0 справа:
Q= , М=0.
При х=a слева:
Q=,
М=.
При х=a справа:
Q=,
М= -bqa= -4∙12∙380= 1866940 Нмм .
При х=2a слева:
Q=,
М=
При х=2a справа:
Q=,
М=
При х=3a слева:
Q=,
М=
Эпюр поперечных сил пересекает нулевую линию в точке К. Из уравнения поперечных сил при х=2a справа определяем расстояние хК.
Q=
,
Определяем максимальный изгибающий момент:
Мmax=
Из условия прочности на изгиб по нормальным напряжениям:
,(3)
где - осевой момент сопротивления сечения.
Из формулы (3):
Для сечения в форме круга:
Отсюда диаметр круга:
Принимаем d= 65 мм.
Площадь сечения
Для сечения в форме прямоугольника с соотношением сторон h/b= 2:
где b- ширина прямоугольника,
h- высота прямоугольника.
По условию соотношение сторон h/b= 2, отсюда
Принимаем b= 34 мм, тогда h= 2∙34=68 мм.
Площадь прямоугольника
Для сечения в форме двутавра.
По ГОСТ 8239-89 подвираем двутавр №10 с ,
Сравниваем подобранные профили по площади сечения
Наиболее выгодным является сечение в форме двутавра.