Пример решения задачи по сопромату - Изгиб и кручение пространственного стержня

    Для заданного на рис. 10 пространственного стержня постоянного поперечного сечения диаметром d требуется :

    1. Построить эпюры изгибающих и крутящих моментов ;

    2. На каждом участке стержня выявить опасное сечение и составить условие прочности по третьей гипотезе прочности ;

    3. Определить диаметр стержня при R=210 МПа.

    Дано : F=20 кН ; q=1 кН/м ; a=51 см ; b=60 см ; c=40 см.

                                                                      Решение.

    1. Построим эпюры изгибающих и крутящих моментов.

    Чтобы построить эпюры изгибающих моментов М и крутящих моментов Т, будем рассматривать участки стержня со стороны свободного конца. В этом случае не требуется определять опорные реакции в защемлении. Эпюра изгибающих моментов строится со стороны растянутых волокон.

    На участке AB стержня сосредоточенная сила F приложена перпендикулярно продольной оси стержня и подвергает его плоскому изгибу. В сечении А изгибающий момент МА=0, в сечении B изгибающий момент MB=bF=0.6×20=12 кН·м. Этот участок стержня изгибается так, что растянуты нижние волокна. Поэтому ординаты эпюры М откладываем снизу от оси. На этом участке крутящий момент Т=0.

    На участке CD стержня равномерно распределённая нагрузка q приложена вдоль продольной оси и подвергает его изгибу в вертикальной плоскости. Изгибающие моменты MC=0 ; MD=q(0.5a)2=1×(0.5×0.51)2=0.065 кН·м. Этот участок стержня изгибается так, что растянуты верхние волокна. Поэтому ординаты эпюры М откладываем вверх. Крутящий момент на этом участке Т=0.

    На участке DE стержня равномерно распределённая нагрузка q приложена перпендикулярно продольной оси и подвергает его плоскому изгибу в вертикальной плоскости. Изгибающие моменты : MD=q(0.5a)2=1×(0.5×0.51)2=0.065 кН·м ; ME=0. Этот участок стержня изгибается так, что растянуты верхние волокна. Поэтому ординаты эпюры М откладываем вверх. Крутящий момент T=0.

    На участке DB стержня сосредоточенная сила qa=1×0.51=0.51 кН приложена перпендикулярно продольной оси и подвергает его плоскому изгибу в вертикальной плоскости. Изгибающие моменты : MD=0 ; MB=qac=0.51×0.4=0.204 кН·м. Этот участок стержня изгибается так, что растянуты верхние волокна. Поэтому ординаты эпюры М откладываем вверх. Крутящий момент Т=0.

    На участке BG изгибающий момент : MB=Fb=20×0.6=12 кН·м ; MG=F(a+b)-qa2=

    =20×(0.51+0.6)-1×0.512=21.94 кН·м. Этот участок стержня изгибается так, что растянуты нижние волокна. Поэтому, ординаты эпюры М откладываем вниз. Крутящий момент Т=qac=1×0.51×0.4=0.204 кН·м.

    Эпюры показаны на рисунке.

    На каждом участке стержня выявим опасное сечение и составим условие прочности по третей теории прочности.

    На участке AB опасным сечением является сечение B, где изгибающий момент максимален. Условие прочности по третьей гипотезе прочности имеет вид :

                         

    где M3 – приведённый момент по третьей гипотезе прочности ; W – осевой момент сопротивления (для круглого сечения W=0.1d3).

                         M3= кН·м

    где Мy – изгибающий момент в плоскости xz ; Mz – изгибающий момент в плоскости xy ; T – крутящий момент.

    На участке BG опасным сечением является сечение G, где изгибающий момент наибольший :

                         M3= кН·м

    На участке BD опасным сечением является сечение B, где изгибающий момент наибольший :

                         M3= кН·м.

    На участке CE опасным сечением является сечение D :

                          M3= кН·м

   Определим диаметр стержня. Для наиболее нагруженного сечения G :

                         0.1d3=

    Отсюда диаметр стержня  :  d= м=101 мм.