Пример решения задач по сопромату(расчет стержня на растяжение и вала на кручение)

Задача №1

Стальной стержень (рис. 1.1) нагружен силами, направленными вдоль его оси. Материал стержня – сталь с модулем продольной упругости = 2·10МПа. Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений  и продольных перемещений  сечений стержня.

Дано: а=0,2 м; b=0,5 м; c=0,2 м; A1=4 см2A2=9 см2F1=40 кН; F2=30 кН; F3=50 кН.

 

Рис. 1.1. Расчетная схема стержня с эпюрами

 

Решение

1. Построение эпюры N.

На стержень действуют три силы, следовательно, продольная сила по его длине будет изменяться. Разбиваем стержень на участки, в пределах которых продольная сила будет постоянной. Обозначим сечения буквами А, В, С, D начиная со свободного конца, в данном случае правого.

Для определения продольной силы на каждом участке рассматриваем произвольное поперечное сечение, сила в котором считается положительной при растяжении и отрицательной при сжатии. Ее величина может быть найдена с помощью метода сечений. Чтобы не определять предварительно реакцию в заделке D, начинаем расчеты со свободного конца стержня А

Участок АВ, сечение I-I. Справа от сечения действует сжимающая сила F2 (рис. 1.1). В соответствии с упомянутым ранее правилом, получаем:

 кН.

Участок ВС, сечение II-II. Справа от него расположены две силы, направленные в одну сторону. С учетом правила знаков, получим:

 кН.

Участок CD, сечение III-III. Аналогично получаем:

 кН.

По найденным значениям в выбранном масштабе строим эпюру, учитывая, что в пределах каждого участка продольная сила постоянна (рис. 1.1). 

Положительные значения откладываем вверх от оси эпюры, отрицательные - вниз.

2. Построение эпюры напряжений σ.

Вычисляем напряжения в поперечном сечении для каждого участка стержня:

 МПа;

 МПа;

 МПа.

Эпюра напряжений показана на рис. 1.1.

3. Построение эпюры продольных перемещений .

Для построения эпюры перемещений вычисляем абсолютные перемещения отдельных участков стержня, используя закон Гука:

 мм;

 мм;

 мм.

Определяем перемещения сечений, начиная с неподвижного закрепленного конца. Сечение расположено в заделке, оно не может смещаться и его перемещение равно нулю: .

Сечение С переместится в результате изменения длины участка CD. Перемещение сечения С определяется по формуле:

 мм.

Перемещение сечения В является результатом изменения длин CD и ВС. Складывая их перемещения, получаем:

 мм.

Рассуждая аналогично, вычисляем перемещение сечения A:

 мм.

В выбранном масштабе откладываем от исходной оси значения вычисленных перемещений. Соединив полученные точки прямыми линиями, строим эпюру перемещений (рис. 1.1). 

 

 

Задача №2

К стальному валу круглого сечения приложены четыре крутящих момента (рис. 2.1). Модуль сдвига стали G=8·10МПа. 

Требуется: 

1) построить эпюру крутящих моментов ТК

2) при заданном значении допускаемого касательного напряжения [τ] определить диаметр вала D из расчета на прочность по наибольшему крутящему моменту и округлить величину D до ближайшего большего значения, оканчивающегося на 0 или 5 мм; 

3) построить эпюру углов поворота  сечений вала относительно заделки. 

Дано: а=1 м; b=1,8 м; c=1,2 м; d=1,5 м; Т1=1,7 кН·м; Т2=0,8 кН·м;            Т3=1,1 кН·м; Т4=0,6 кН·м; [τ]=50 МПа.

Рис. 2.1. Расчетная схема вала с эпюрами

Решение

1. Построение эпюры крутящих моментов ТК.

Вал жестко заделан левым концом А, правый конец Е свободный. В
сечениях В, С, D и Е приложены крутящие моменты.

Крутящие моменты ТК, определяем методом сечений. Вычисления начинаем с незакрепленного конца:

Участок DE, сечение I-I:

 кН·м.

Участок СD, сечение II-II:

 кН·м.

Участок ВС, сечение III-III:

 кН·м.

Участок АВ, сечение IV-IV:

 кН·м.

По найденным значениям ТК строим эпюру крутящих моментов. Для этого рассматриваем последовательно участки DE, CD, BC и AB. Крутящие моменты, действующие на этих участках, уже вычислены.

Величина крутящего момента на каждом участке не зависит от положения сечения в пределах участка (крутящий момент постоянен), поэтому эпюра крутящих моментов ограничена отрезками прямых (рис. 2.1). Построенная эпюра позволяет найти опасное сечение, т.е. такое, в котором действует максимальный (по модулю) крутящий момент.

В данном случае опасными будут сечения в пределах участка АВ. Расчетное значение крутящего момента:  кН·м.

2. Подбор диаметра поперечного сечения вала D.

Используем условие прочности: .

Учитывая, что , выразим диаметр из условия прочности:

,

отсюда 

 м = 64 мм, принимаем  мм.

3. Построение эпюры углов поворота .

Предварительно определим величину полярного момента инерции вала:

 м4;

Вычисляем углы закручивания по участкам:

 рад;

 рад;

 рад;

 рад. 

Угол поворота каждого сечения равен сумме углов закручивания соответствующих участков вала. Суммирование углов начинаем с закрепленного конца А:

, так как сечение в заделке неподвижно;

 рад;

 рад;

 рад;

 рад.

По вычисленным углам поворота сечений строим эпюру углов закручивания (рис. 2.1).