Примеры решения задач по общей теории статистики - контрольная работа 8

Ниже приведены условия  и решения задач. Закачка решения в формате doc  начнется автоматически через 10 секунд.

1

 

Задача 1

Имеются следующие отчетные данные 25-ти заводов одной из отраслей промышленности (табл.2.1).

Таблица 2.1.

Завод

Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млрд р.

Продукция в сопоставимых ценах, млрд р.

1

63

80

2

75

94

3

66

112

4

33

34

5

40

42

6

80

102

7

51

57

8

49

53

9

67

70

10

34

29

11

33

33

12

46

54

13

41

50

14

59

70

15

64

79

16

39

64

17

56

46

18

36

41

19

30

38

20

54

85

21

20

18

22

45

46

23

48

52

24

59

90

25

72

86

С целью изучения зависимости между среднегодовой стоимостью основных производственных фондов и выпуском продукции произведите группировку заводов по среднегодовой стоимости основных производственных фондов, образовав 4 группы заводов с равными интервалами. По каждой группе и совокупности заводов подсчитайте:

1) число заводов;

2) среднегодовую стоимость основных производственных фондов - всего и в среднем на один завод;

3) стоимость продукции -- всего и в среднем на один завод;

4) размер продукции на рубль основных производственных фондов (фондоотдачу);

Результаты представьте в виде групповой таблицы. Напишите краткие выводы.

Решение.

В качестве группированного признака возьмем среднегодовую стоимость основных производственных фондов. Образуем  4 группы заводов с равными интервалами .Величину интервала определим по формуле:

h=(XmaxXmin)/n=(80-20)/4=15 млрд. р.

Обозначим границы групп:

20-35 – 1-я группа

35-50 - 2-я группа

50-65 - 3-я группа

65-80 - 4-я группа

Отбираем показатели, характеристики группы и определяем их величины по каждой группе. Найдем стоимость основных производственных фондов и объем продукции — всего и в среднем на одно предприятие:

по 1-й группе:

Всего предприятий:  5

Всего стоимость основных производственных фондов:   33+34+33+30+20=150 млрд.руб.

в среднем на одно предприятие: 150/5=30 млрд.руб.

Всего объем продукции34+29+33+38+18=152 млрд.руб.

в среднем на одно предприятие: 152/5=30,4 млрд.руб.

Фондоотдача = объем продукции/ стоимость основных производственных фондов

Ф=30,4/30=1

Аналогично по 2-й, 3-й, 4-й  группе:

  Найдем стоимость основных производственных фондов и объем продукции — всего и в среднем на одно предприятие по всем предприятиям:

Всего предприятий:  25

Всего стоимость основных производственных фондов:   150+344+406+360=1260 млрд.руб.

в среднем на одно предприятие: 1260/25=50,4 млрд.руб.

Всего объем продукции:   152+402+507+464=1525 млрд.руб.

в среднем на одно предприятие: 1525/25=61 млрд.руб.

Ф=1525/1260=1,21

Результаты группировки представим в виде таблицы 1.1.

Таблица 1.1

Группировка заводов по величине среднегодовой стоимости основных производственных фондов.

№группы

Группы заводов по величине ОПФ,млрд.р.

Число заводов

Основные производственные фонды ,млрд.р.

Продукция в сопоставимых ценах

,млрд.р.

Фондоотдача

всего

в среднем

всего

в среднем

1

20-35

5

150

30

152

30,4

1,013

2

35-50

8

344

43

402

50,25

1,168

3

50-65

7

406

58

507

72,429

1,249

4

65-80

5

360

72

464

92,8

1,289

Итого

25

1260

 

1525

 

 

В среднем

 

 

50,4

 

61

1,21

        Общая продукция в сопоставимых ценах по всем предприятиям составила 1525 млрд.р., а в среднем на одно предприятие  -- 61млрд.р. Общая среднегодовая стоимость основных производственных фондов по всем предприятиям составила 1260 млрд.р., а в среднем на одно предприятие  -- 50,4 млрд.р. С ростом стоимости ОПФ, возрастает средний объем продукции и фондоотдача. Фондоотдача в среднем по всем предприятиям составляет 1,21 млрд.р.

 

Задача 2.

Имеются данные по трем предприятиям, выпускающим одинаковые изделия (табл.2.2).

 

Таблица 2.2.

Предприятие

Фактический выпуск продукции, млн р.

% выполнения планового задания

% продукции высшего сорта

1

1002,3

102,8

82,4

2

907,3

105,5

94,5

3

674,1

96,3

89,2

На основании приведенных данных по трем предприятиям, используя формулы соответствующих средних величин, определите:

1) средний процент выполнения планового задания выпуска продукции;

2) средний процент продукции высшего сорта.

Решение.

1. Найдём средний процент  выполнения планового задания выпуска продукции, используя среднюю гармоническую взвешенную:

%

где хii-й вариант усредняемого признака

mi – вес i-го варианта

2. Найдем средний процент продукции высшего сорта, используя среднюю арифметическую взвешенную:

%

 

  

Задача 3.

В целях изучения стажа рабочих завода проведена 36%-ная механическая выборка, в результате которой получено следующее распределение рабочих по стажу работы:

Стаж, число лет

Число рабочих, чел.

до 5

12

5--10

18

10--15

24

15--20

32

20--25

6

25 и выше

8

И т о г о:

100

На основе этих данных вычислите:

1) средний стаж рабочих завода;

2) моду и медиану стажа рабочих;

3) средний квадрат отклонений (дисперсию), среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации;

4) с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидается средний стаж рабочих всего завода;

5) с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса рабочих со стажем работы от 10 лет и выше в общей численности рабочих.

Решение.

1.  Для того чтобы вычислить среднее значение признака перейдем от интервального ряда к дискретному, т.е. найдем середину каждого интервала как полусумму нижней и верхней границ. При этом величина открытого интервала первой группы приравнивается к величине интервала второй группы, а величина открытого интервала последней группы – к  величине интервала предпоследней группы. Для удобства вычислений составляем таблицу.

Стаж, число лет

Середины интервалов Xi'

fi

X'ifi

X'2ifi

до 5

2,5

12

30

75

5-10

7,5

18

135

1012,5

10-15

12,5

24

300

3750

15-20

17,5

32

560

9800

20-25

22,5

6

135

3037,5

25 и выше

27,5

8

220

6050

ИТОГО:

 

100

1380

23725

Найдем средний стаж: = 1380/100=13,8 лет

 

2. Найдем моду Мо и медиану Ме:

Мо=ХМо + iМолет

fM0,fM0-1,fM+1 –частоты модального ,до и после модального интервалов соответственно,ХМ0 – начало модального интервала. iМО- величина модального интервала.

      Мода показывает варианту наиболее часто встречающегося в данной совокупности, т.е. наиболее часто встречающийся стаж рабочих в данной совокупности равен 16,18%

Ме=ХМе + iМелет

ХМе- начало медианного интервала; iМе - величина медианного интервала;SМе- сумма накопленных частот до медианного интервала: fМе – частота медианного интервала.

Медиана – это варианта, располагающаяся в середине ранжированного ряда распределения.

    Вывод: половина рабочих имеет стаж до 14,167 лет, а вторая половина рабочих – более 14,167 лет.

3. Найдем дисперсию по следующей формуле:

                                     237,25-13,82 =46,81

 

 

        Дисперсия показывает среднее арифметическое квадратов отклонений каждого значения признака от средней арифметической.

    Среднее квадратическое отклонение находим по специальной формуле: = 6,84 лет

    Коэф. вариации   =(6,84/13,8)·100%=50%

Когда относительные показатели вариации не превышают 35%, то принято считать, что полученные средние характеристики достаточно надежно характеризуют совокупность по варьирующему признаку. В нашем же случае, напротив, коэффициент вариации  больше 35%     -- не надежно, т.е. полученный средний стаж  не надежно характеризует данную совокупность по этому признаку. Помощь на экзамене онлайн.

       4. Из условия задачи имеем n/N=0,36, n = 100. На основе этих данных с вероятностью 0,954найдем предельную ошибку ( ) выборочной средней () и возможные границы по следующим формулам  , где = ---предельная ошибка выборочной средней. Так как р=0,997  то t=3 .

= года                                           

13,8-1,64 13,8+1,64

12,1615,44

 

    Итак с вероятностью  р=0,997 можно утверждать, что границы генеральной среднего стажа      находятся от  12,16  до 15,44  лет.          

5. Так как сейчас нужно найти с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборочной доли () и границы генеральной доли ()  рабочих cо стажем работы от 10 лет и выше   по формуле . =(24+32+6+8)/100=0,7                      .  =   или 7,3%

Так как р=0,954   то t=2    .

70-7,3 70+7,3

62,7% 77,3%

     Итак с вероятностью  р=0,954     можно утверждать, что границы генеральной доли рабочих cо стажем работы от 10 лет и выше   находятся  от   62,7%    до   77,3%.          

 

 

 

 

Задача 4.

Имеются следующие данные о производстве станков на станкостроительном заводе:

Год

Производство станков, шт.

1994

1250

1995

1263

1996

1252

1997

1270

1998

1284

Для анализа динамики производства станков вычислите:

1) абсолютные приросты , темпы роста и прироста по годам и к 1994 г., абсолютное содержание одного процента прироста (снижения) по годам. Полученные показатели представьте в виде таблицы;

2) среднегодовое производство станков за 1994- -1998 гг.,

3) среднегодовые абсолютный прирост, темп роста и темп прироста производства станков за анализируемый период.

Постройте график динамики производства станков за 1994--1998г. Сформулируйте выводы.

Решение.

1) В зависимости от задачи исследования абсолютные приросты (снижения,), темпы роста (снижения, Т) и темпы пополнения (снижения, ) могут быть рассчитаны с переменной базой сравнения (цепные) и постоянной базой сравнения (базисные).

Абсолютные приросты рассчитываются при помощи следующих формул:

цепные ........................................

Например, рассчитаем цепной абсолютный прирост за 1995 год:

= 13.

Тем же образом рассчитывается цепной абсолютный прирост за 1996 год:

= –11.

Аналогичным способом рассчитаем показатели цепного абсолютного пополнения за 1997 и 1998  годы.

= 18;

= 14.

Расчет базисных абсолютных приростов производится по формуле:

и отличается лишь тем, что текущий период сравнивается с базисным, величина которого постоянна, т.е. базисный абсолютный прирост за 1995 год будет равен:

= 13,

а базисный абсолютный прирост за 1996 год:

= 2.

Аналогичным способом рассчитываются показатели базисного абсолютного пополнения за 1997 и 1998  годы:

= 20;

= 34.

Темпы роста можно определить с помощью формул:

цепные...........................................

базисные..........................................

 

В 1995, 1996, 1997 и 1998 году цепные темпы роста будут составлять:

= 101,04;      = 99,13;

= 101,44;      = 101,10.

Базисные темпы роста в 1995, 1996, 1997 и 1998  годах составят:

= 101,04;      = 100,16;

= 101,60;      = 102,72.

Чтобы определить темпы пополнения необходимо воспользоваться следующими формулами:

цепные...................................

базисные................................

В результате мы получим цепные (слева) и базисные (справа) за 1995, 1996, 1997 и 1998 годы:

= 1,04    = 1,04

= –0,87    = 0,16

= 1,44    = 1,60

= 1,10    = 2,72

Абсолютное значение одного процента пополнения (снижения) – это отношение абсолютного цепного пополнения к соответствующему цепному темпу пополнения, выраженному  в процентах.  Оно определяется по формуле:

,

Представим полученные результаты в таблице 2:

Таблица 2

Таблица данных динамики производства станков за 1994–1998 гг.

 

Год

 

 

Количество станков, шт.

Абсолютные приросты, шт

Темпы роста, %

Темпы прироста, %

Абсолютное значение 1 % пополнения (снижения), шт

цепные

базисные

цепные

базисные

цепные

базисные

1994

1250

1995

1263

13

13

101,04

101,04

1,04

1,04

12,50

1996

1252

-11

2

99,13

100,16

-0,87

0,16

12,63

1997

1270

18

20

101,44

101,6

1,44

1,6

12,52

1998

1284

14

34

101,10

102,72

1,10

2,72

12,70

 

2) Для определения среднегодового производства станков за 1994-1998 гг. достаточно найти среднюю арифметическую по формуле:

т.е.  средний уровень ряда равен  сумме уровней ряда, деленной на их число.

 

Таким образом, среднегодовое производство станков за 1994-1998  гг. составит:

1263,8 (шт.)

 

3) Найдем средний абсолютный прирост по формуле:

где m – число базисных абсолютных приростов; уi – количество станков в последнем периоде; уо – количество станков в базовом периоде.

= 8,5 (шт.)

Среднегодовой темп роста исчислим по формуле:

где  m - число периодов; уi – количество станков в последнем периоде; уо – количество станков в базовом периоде.

= 100,67 %

Среднегодовой темп  пополнения равен:

= 100,67 – 100 = 0,67 %

Рис.1

 

ВЫВОД: таким образом, видно, что абсолютный прирост, темпы роста и пополнения производства станков по сравнению с 1994 годом имеют наибольший показатель в 1998 году, однако те же самые показатели динамики по сравнению с предыдущим годом имеют наибольшее значение в 1997 году.

 

 

 

 

Задача 5.

Динамика средних цен и объема продажи на колхозных рынках города характеризуется следующими данными (табл.2.3).

 

Таблица 2.3

 

Продано продукции, тыс. кг

Средняя цена за кг, тыс. р.

Продукция

базисный период

отчетный период

базисный период

отчетный период

Колхозный рынок №1

 

 

 

 

Картофель

4,0

4,2

6,4

7,6

Капуста

2,5

2,4

7,2

8,4

Колхозный рынок №2

 

 

 

 

Картофель

10,0

12,0

7,6

7,0

 

На основании имеющихся данных вычислите.

1. Для колхозного рынка №1 (по двум видам продукции вместе):

а) общий индекс товарооборота;

б) общий индекс цен;

в) общий индекс физического объема товарооборота;

Определите в отчетном периоде по сравнению с базисным абсолютный прирост товарооборота и разложите его по факторам (за счет изменения цен и объема продаж товаров).

Покажите взаимосвязь между исчисленными индексами.

2. Для колхозных рынков вместе (по картофелю):

а) индекс цен переменного состава;

б) индекс цен постоянного состава;

в) индекс влияния изменения структуры объема продаж картофеля на

динамику средней цены.

Объясните различие между полученными величинами индексов постоянного и переменного состава.

Определите общее абсолютное изменение средней цены картофеля в отчетном периоде по сравнению с базисным и разложите его по факторам: за счет непосредственного изменения уровней цен и изменения структуры продажи картофеля.

Сформулируйте выводы.

Решение.

1)     Рассчитаем общий индекс товарооборота для рынка № 1 по формуле:

,

где q – количество единиц данного вида реализованной продукции; p – цена единицы изделия.

Подстрочный значок 0 означает базисный, а 1 – отчетный периоды.

Подставив в формулу данные в условии задачи значения, получим:

или 119,4%

Рассчитаем общий индекс цен по формуле:

где q – количество единиц данного вида реализованной продукции; p – цена единицы изделия.

Подстрочный значок 0 означает базисный, а 1 – отчетный периоды.

или 117,9%

Найдем общий индекс физического объема товарооборота по формуле:

где q – количество единиц данного вида реализованной продукции; p – цена единицы изделия.

Подстрочный значок 0 означает базисный, а 1 – отчетный периоды.

  или 101,3%

Связь между исчисленными индексами можно представить как:

          

Теперь определим абсолютный прирост товарооборота по формуле:

,

где q – количество единиц данного вида реализованной продукции; p – цена единицы изделия.

Подстрочный значок 0 означает базисный, а 1 – отчетный периоды.

(тыс. руб.)

в том числе: за счет изменения цены продукции:

(тыс. руб.)

физического объема продукции:

(тыс. руб.)

Связь между исчисленными индексами можно представить как:

+.                 79,2+0,56=8,48 (тыс. руб.) 

 

2) Индекс цен переменного состава для двух рынков по картофелю равен соотношению средних уровней изучаемого признака и исчисляется по формуле:

где q – количество единиц данного вида реализованной продукции; p – цена единицы изделия.

Подстрочный значок 0 означает базисный, а 1 – отчетный периоды.

0,986 или 98,6%

Индекс цен постоянного (фиксированного) состава или индекс цен в постоянной структуре, исчисляется по формуле:

,

где q – количество единиц данного вида реализованной продукции; p – цена единицы изделия.

Подстрочный значок 0 означает базисный, а 1 – отчетный периоды.

Этот индекс характеризует изменение средней цены единицы продукции за счет изменения только уровней цены на каждом из рынков.

0,982 или 98,2%

Индекс структурных сдвигов рассчитывается по формуле:

стр.сдв.=

где q – количество единиц данного вида реализованной продукции; p – цена единицы изделия.

Подстрочный значок 0 означает базисный, а 1 – отчетный периоды.

стр.сдв.=1,004 или 100,4%

Этот индекс характеризует изменение средней цены единицы продукции за счет изменения только удельного веса количества реализованной продукции на отдельных рынках.

Индекс структурных сдвигов можно исчислить, используя взаимосвязи индексов, то есть:

стр..сдв.

Используя индексы средних величин, можно найти не только относительное  влияние факторов, но и определить  абсолютное изменение уровня среднего показателя  в целом () и за счет  каждого из факторов: за счет непосредственного изменения уровней осредняемого признака () и за счет изменения структуры ((стр. сдв.).). Для этого необходимо из числителя соответствующего индекса  приведенной системы индексов  вычесть его знаменатель.

= 0,10159 (тыс. руб.)

в том числе:

;

;

= 0,13333 (тыс. руб.)

= 0,03174 (тыс. руб.)

 

Взаимосвязь исчисленных индексов можно выразить в следующей форме:

ВЫВОД: по рынку № 1: общее увеличение товарооборота в отчетном периоде на 19,4% (или на 8,48 тыс. рублей)  было вызвано ростом цен на 17,9%, который привел к увеличению товарооборота на 7,92 тыс. рублей и ростом физического объема товарооборота на 1,3%, который привел к увеличению товарооборота на 56 тыс. рублей. По двум рынкам в целом имеет место снижение средней цены на 1,4% или на 0,101 руб., которое вызвано снижением уровней цен на рынках на 1,8%, которое привело к уменьшению средней цены на 0,133 руб. Общее снижение средней цены могло бы быть больше (на 0,133 руб.), если бы не изменение структуры продаж на рынках на 0,44%, которое увеличило среднюю цену на 0,032 руб.


Задача 6.

Имеются данные о производстве продукции на сахарном заводе (табл.2.4).

Таблица 2.4.

 

Стоимость продукции в

Изменение количества произведенной

Продукция

базисном периоде, млн р.

продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным, %

Сахар-песок

37 380

+10

Меласса

3100

-3

Жом свежий

580

+5

 

Вычислите:

1) общий индекс физического объема продукции;

2) используя взаимосвязь индексов, определите, на сколько процентов изменились цены на произведенную продукцию, если известно, что стоимость продукции в фактических ценах возросла на 30 %.

Решение.

1) Рассчитаем общий индекс физического объема продукции по формуле:

,

где q – количество единиц данного вида реализованной продукции; p – цена единицы изделия.

Подстрочный значок 0 означает базисный, а 1 – отчетный периоды.

Заменив q1 значением из индивидуального индекса: , получим

Для сахара iq=, для мелассы iq=,

для жома свежего  iq=

1,089 или 108,9%

2) Рассчитаем, используя взаимосвязь индексов, на сколько процентов  изменились цены на произведенную продукцию, если известно, что стоимость продукции  в фактических ценах возросла на 30%.

 

= 1,194 или 119,4%

Таким образом, цены на произведенную продукцию увеличились на 19,4 %.

    В отчетном периоде по сравнению с базисным стоимость продукции возросла на 30% . Это увеличение обусловлено увеличением количества произведённой продукции на 8,95% (108,95-100=8,95%) и увеличением цен на 19,32%  (119,32-100=19,32%).

 

 

                    .

 

 

 

Задача 7.

Для изучения тесноты связи между выпуском продукции, приходящейся на один завод (результативный признак - у), и оснащенностью заводов основными производственными фондами (факторный признак - х) по данным и решению задачи 1 вычислите коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение. Поясните их смысл.

Решение.

Эта задача составлена на измерение взаимосвязи между исследуемыми признаками (факторным и результативным) при помощи эмпирического корреляционного отношения, которое исчисляется по формуле:

Где - межгрупповая дисперсия результативного признака. Исчисляется она на основе данных аналитической группировки по формуле: ,

Где     -  групповые средние результативного признака;  - общая средняя результативного признака;       - число единиц совокупности в каждой группе.

Общая дисперсия результативного признака определяется по исходным данным задачи 1 по формуле: .

Найдем общую дисперсию результативного признака:

=

= 4310,04 - 612 = 589,04

Найдем межгрупповую дисперсию результативного признака:

=

Найдем  эмпирическое корреляционное отношение

=

Найдем коэффициент детерминации D:

Коэффициент детерминации показывает количествен­ное влияние какого-либо фактора на исследуемый приз­нак. В нашем случае коэффициент детерминации состав­ляет 78,6 % т. е. для исследуемой совокупности предприятий  средний объ­ем продукции зависит на 78,6 % от стоимости ОПФ и на 21,4 % (100-78,6 =21,4%) —от изменения прочих факторов.

Имя файла: OTS8.doc

Размер файла: 525 Kb

Если закачивание файла не начнется через 10 сек, кликните по этой ссылке