Примеры решенных задач по математике - Контрольная 5

Ниже приведены условия и решения задач. Закачка решений в формате doc начнется автоматически через 10 секунд. 

Задание 1 .

Даны координаты вершин пирамиды  Найти: 

1) косинус угла между ребрами  

2) площадь грани 

3)  объем пирамиды; 

4) уравнения прямой ; 

5) уравнение плоскости 

Решение.

Найдем координаты векторов .

1) Найдем косинус угла между ребрами по формуле:

.

Координаты векторов 

Вычислим скалярное произведение векторов 

Определим длины векторов 

Тогда

 

2) Площадь грани А₁А₂А₃ (площадь ∆А₁А₂А₃) можно найти при помощи векторного произведения векторов  и  по формуле 

Вычислим векторное произведение векторов  и 

 Вычислим его длину:

Тогда (кв. ед.).

 

 

3) Объём пирамиды можно найти при помощи смешанного произведения векторов, выходящих из одной точки А₁ по формуле:

.

Координаты векторов уже определены: 

Вычисляем смешанное произведение этих векторов:

Значит,  искомый объём пирамиды 

(куб. ед.).

 

 4) Найдем уравнения прямой как уравнение прямой, проходящей через две точки.

Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁; z₁) и A₂(x₂; y₂; z₂), определяется формулой:

Тогда уравнение прямой  примет вид:    

.

 

5) Составим уравнение плоскости  .

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки    можно записать  в виде

Подставляя в него координаты точек А₁, А₂, А₃ получим уравнение плоскости :

Раскроем определитель по первой строке:   

Итак, уравнение плоскости  имеет вид:  

 

Ответ: 1)  

 2)  кв. ед.

 3)  куб. ед.

4) уравнения прямой : 

5) уравнение плоскости    

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2 .

5) Найти А·В - 2(А + В) · А, где матрицы

       

Решение.

Таким образом,

Ответ. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 3

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

5). 

Решение.

Запишем расширенную матрицу системы  и, используя  элементарные преобразования строк матрицы, приведем её к ступенчатому виду.

К второй строке прибавим первую строку, умноженную на (-2).

К третьей строке прибавим первую строку, умноженную на (-4).

Умножим вторую строку на (-1/3) .

К третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на 3.

Умножим третью строку на (-1/2) .

Система с коэффициентами полученной матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:

Найдем последовательно значения переменных х₂ и х₁.

Таким образом, получаем решение данной системы:

Ответ:      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 4

Найти пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

5)

Решение.

Так как аргумент функции стремится к числу -0,5, то при прямой подстановке вместо х числа -0,5 получаем, что числитель и знаменатель дроби равен нулю. 

.

Раскрытие неопределенности вида  осуществляется разложением числителя и знаменателя дроби на множители, а затем сокращением в числителе и знаменателе дроби одинаковых множителей.

Для разложения на множители квадратного трехчлена воспользуемся формулой:

ах² +bх + c = а(х – х₁)(х – х₂), где х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения ах² +bх + c = 0.

;      D = b² – 4ac = 49 –  4∙2∙ (-4) = 49 + 32 = 81 = 9².

Получаем разложение числителя :  

Таким образом,

 

 

Так как аргумент функции стремится к бесконечности, то числитель неограниченно убывает, а знаменатель дроби неограниченно возрастает. Получаем неопределенность вида . 

Для вычисления данного предела необходимо разделить и числитель и знаменатель дроби на наивысшую степень переменной х (в данном случае делим на х³):

.

Все дроби у которых, после деления на х³, получили в знаменателе х² или х³ стремятся к нулю при .

 

Так как аргумент функции стремится к числу 0, то при прямой подстановке вместо х числа 0 получаем, что числитель и знаменатель дроби равен нулю. 

Раскрытие неопределенности вида  в пределах, содержащих тригонометрические выражения, осуществляется заменой функций бесконечно малыми при х стремящемся к нулю.

 

 

Ответ:      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 5

Найти производные данных функций.

5)

Решение.

 

 

 

Воспользуемся формулой:    

Вычислим производные

Тогда по формуле производной функции, заданной в параметрическом виде получим

 

Ответ. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 6

Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и, используя результаты исследования, построить ее график.

Решение

1. Функция терпит разрыв при х = 1 и х = - 1. При всех других значениях аргумента она непрерывна. Область ее определения состоит из трех интервалов , а график из трех ветвей.

 

2. Функция является нечетной, так как у (-х) = -у (х), т.е. 

Следовательно, график ее симметричен относительно начала координат.

3. Функция не является периодической.

4. Определим наличие асимптот.

Исследуем поведение функции в бесконечности и найдём вертикальные асимптоты.

Вертикальные асимптоты и  из области определения функции.

Пределы конечны, то график функции имеет горизонтальную асимптоту .

Найдём наклонные асимптоты. Они имеют уравнения , где 

     Так как , то наклонных асимптот нет.

5.  Найдём точки пересечения с осями координат.

С осью , тогда , , тогда .

С осью , тогда ,  , тогда  , а , тогда .

6. Найдём интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума.

Для этого найдём производную и приравняем её к .

 при

 .

Производная не обращается в ноль, так как уравнение  не имеет вещественных корней. Следовательно, точек экстремума нет. 

x
	-	не сущ.	-	не сущ.	-
y		-		-

 

Так как производная отрицательна во всей области определения функции, то она всюду убывает в этой области.

 

7. Найдём интервалы выпуклости и вогнутости для данной функции, точки перегиба.

Для этого найдем вторую производную данной функции.

 при .

		-1		0
	-	не сущ.	-		+	не сущ	+
				перегиб		-

 

8. Строим график: