Примеры решенных задач по математике - Контрольная 4

Ниже приведены условия и решения задач. Закачка решений в формате doc начнется автоматически через 10 секунд. 

 Задание 1.

 Вычислить пределы:

9 а) ;

 б) ;

 в) ;

 г) ;

 д) .

 

 

 Решение.

 а) .

 Здесь ни числитель, ни знаменатель не имеют конечного предела, так как оба неограниченно возрастают. То есть имеем неопределённость (∞/∞). Если предварительно преобразовать аналитическое выражение под знаком предела, разделив числитель и знаменатель на переменную  в старшей степени (в нашем случае ), то получим:

 Ответ: .

 

 б) .

 Для раскрытия неопределённости (0/0) разложим числитель и знаменатель на множители, а затем сократим дробь на общий множитель (x – 2):

 Ответ: .

 

 

 в) .

 Для раскрытия неопределённости (0/0) умножим числитель и знаменатель дроби на выражение :

 Ответ: .

 

 г) .

 Для раскрытия неопределённости (0/0) применим эквивалентные бесконечно малые функции. Так как при :

,    ,

 то:

 Ответ: .

 

 д) .

 Чтобы раскрыть неопределённость (1^∞), преобразуем предел так, чтобы применить второй замечательный предел в виде:

.

 Имеем:

 Ответ: .

 Задание 2.

 Найти точки разрыва функции y = f(x) и определить их характер. Сделать чертёж.

9 

 

 

 Решение.

 Условие непрерывности функции в точке  :

.

 «Подозрительными на разрыв» являются точки «внутри» областей, в которых теряется непрерывность функции (таких точек нет), и точки, в которых меняется аналитическое описание функции  ().

 

 Точка .

 Предел «слева» в этой точке:

.

 Предел «справа» в этой точке:

.

 Значение функции в этой точке:

.

 Левый и правый пределы функции конечны, равны между собой и равны значению функции в точке. Следовательно, в точке  функция непрерывна.

 

 Точка .

 Предел «слева» в этой точке:

.

 Предел «справа» в этой точке:

.

 Значение функции в этой точке:

.

 Левый и правый пределы функции конечны, но не равны между собой. Значит, в точке  функция имеет разрыв скачка. Скачок в точке равен:

 

 Построим схематично график функции.

 

 

 

                                                                                                        

 

 

 

                                                                 

                         -п                                   0                                      п                                   2п   

 

 

 

 

 

 

 

 Ответ: функция терпит разрыв скачка в точке .

 Задание 3.

 Найти производные:

9 а) ;

 б) ;

 в) ;

 г) ;

 д) ;

 е) y = ln³(1 + e^x/3);

 ж) x = at cost,

      y = at sint.

 

 

 Решение.

 а) .

 По правилу дифференцирования произведения двух функций запишем:

.

 Используя правило дифференцирования суммы (разности) двух функций, а также таблицу производных, получим:

;

.

 Окончательно запишем:

.

 Ответ: .

 

 б) .

 Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

.

 По правилу дифференцирования частного двух функций запишем:

.

 Применяя правила дифференцирования и таблицу производных, получим:

 Окончательно запишем:

 Ответ: .

 

 в) .

 Сначала используем формулу дифференцирования сложной функции:

.

 Для оставшейся производной применим формулу дифференцирования частного двух функций:

.

 Для производных, стоящих в числителе, сначала применим правила дифферен-цирования, а затем используем таблицу производных:

;

.

 Окончательно получаем:

 Ответ: .

 

 г) .

 Применим правило дифференцирования суммы функций:

.

 Далее используя правило дифференцирования сложной функции, а также правила дифференцирования и таблицу производных:

 Окончательно запишем:

.

 Ответ: .

 

 д) .

 Применим правило дифференцирования произведения двух функций:

.

 Далее используя правило дифференцирования сложной функции, а также правила дифференцирования и таблицу производных:

.

 Окончательно запишем:

.

 Ответ: .

 

 е) .

 Используя правило дифференцирования сложной функции, а также правила дифференцирования и таблицу производных, получим:

 Ответ: .

 

 ж)

 Найдём первую производную.

 Найдём производные от  и  по параметру :

;

.

 Тогда первая производная функции будет равна:

.

 Ответ: .

 Задание 4.

 Вычислить предел, используя правило Лопиталя:

9 .

 

 

 Решение.

 Подставляем предельное значение в функцию:

.

 В данном случае имеем неопределённость (∞⁰).

 Обозначим вычисляемый предел:

.

 Прологарифмируем это равенство:

 Получили неопределённость (∞/∞), значит, можем применить правило Лопиталя:

 Таким образом:

.

 Следовательно:

,

 или:

.

 Ответ: .

 Задание 5.

 Провести полное исследование функций и построить их графики:

9 а) y = (2x + 1) / x²;

 б) y = (x – 1) e^{3x + 1}.

 

 

 Решение.

 а) .

 Заданная функция:

,  или  .

 

 1) Область определения функции:

.

 

 2)  – функция общего вида.

 Функция непериодическая.

 

 3) Точки пересечения графика функции с осями координат:

с осью Оy:  – точек пересечения нет;;

с осью Оx: .

 

 4) Интервалы знакопостоянства функции.

 

                 −                +                  +

 

                                               

 

 при  – график функции ниже оси Ox;

 при  – график функции выше оси Ox.

 

 5) Асимптоты функции.

 а) Вертикальные асимптоты.

 Функция непрерывна в области определения. Исследуем точку :

;

.

 Таким образом,  – точка разрыва функции 2-го рода.

 Следовательно, прямая  – вертикальная асимптота графика функции.

 б) Наклонная асимптота :

;

.

 Таким образом:

наклонных асимптот нет;

прямая  – горизонтальная асимптота.

 

 6) Определим интервалы возрастания и убывания функции, и её точки экстремума, для чего вычислим первую производную:

 Из условия  находим стационарные точки:

;

 не определена при , однако, эта точка не входит в область определения.

 Точки  и  делят числовую прямую на 3 интервала. Определим знак производной на каждом интервале и укажем стрелками характер монотонности функции на диаграмме:

 

                −                   +                    −

 

                                                      

 

 

 Интервалы монотонности функции:

функция убывает    при ;

функция возрастает   при .

 Точки экстремума:

минимум .

 

 7) Определим интервалы выпуклости графика функции и точки перегиба, для чего вычислим вторую производную:

 Из условия  находим точки, подозрительные на перегиб:

;

 не определена при , однако, эта точка не входит в область определения.

 Точки  и  делят числовую прямую на 3 интервала. Определим знак второй производной на каждом интервале и укажем на ней интервалы выпуклости функции:

 

                       −                                  +                                    +

 

                                                                                                 

 

 

 Интервалы выпуклости функции:

график функции выпуклый вверх  при ;

график функции выпуклый вниз  при .

 Точки перегиба:

.

 

 8) Найдём несколько до­полнительных точек для построения графика:

 

 По результатам исследования строим график функции  .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                          

 

 

                                                                           

                                                                  

 

 б) .

 1) Функция определена на всей числовой прямой, то есть область определения функции:

.

 

 2) –  функция общего вида.

 Функция непериодическая.

 

 3) Точки пересечения графика функции с осями координат:

с осью Оy: ;

с осью Оx: .

 

 4) Интервалы знакопостоянства функции.

 

                    −                               +

 

                                                        

 

 при  – график функции ниже оси Ox;

 при  – график функции выше оси Ox.

 

 5) Асимптоты функции.

 а) Вертикальные асимптоты.

 Функция определена на всей числовой прямой – вертикальных асимптот нет.

 б) Наклонная асимптота :

;

;

Правило Лопиталя

 Таким образом:

наклонных асимптот нет;

 – горизонтальная асимптота.

 

 6) Определим интервалы возрастания и убывания функции, и её точки экстремума, для чего вычислим первую производную:

 Из условия  находим стационарные точки:

.

 Точек разрыва нет.

 Найденная критическая точка делит числовую прямую на 2 интервала. Определим знак производной на каждом интервале и укажем стрелками характер монотонности функции на диаграмме:

 

                     −                               +

 

                                                       

 

 

 Интервалы монотонности функции:

функция убывает    при ;

функция возрастает   при .

 Точки экстремума:

минимум .

 

 7) Определим интервалы выпуклости графика функции и точки перегиба, для чего вычислим вторую производную:

 Из условия  находим точки, подозрительные на перегиб:

.

 Точек разрыва нет.

 Найденная точка делит числовую прямую на 2 интервала. Определим знак второй производной на каждом интервале и укажем на ней интервалы выпуклости функции:

 

                               −                                                     +

 

                                                                                                  

 

 

 Интервалы выпуклости функции:

график функции выпуклый вверх  при ;

график функции выпуклый вниз  при .

 Точки перегиба:

.

 

 8) Построим график функции  по результатам исследования.