Примеры решенных задач по математике - Контрольная 3

Ниже приведены условия и решения задач. Закачка решений в формате doc начнется автоматически через 10 секунд. 

Вариант 5

Задача 1. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения с разделяющими переменными:

Решение: Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Решим его:

Найдем частное решение, подставив исходные данные:

Тогда частое решение имеет вид:

Ответ:

Задача 2. Найти общее решение однородного дифференциального уравнения:

Решение: Данное уравнение является линейным однородным уравнением, которое решим с помощью замены , которая приводит к уравнению с разделяющимися переменными:

Ответ:

Задача 3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения:

Решение:

Данное уравнение является линейным неоднородным уравнением, которое решим с помощью замены

Составим и решим систему:

Таким образом общее решение имеет вид:

Ответ:

Задача 4. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения:

Решение: Данное уравнение является однородным дифференциальным уравнением 3го порядка.

Составим и решим характеристическое уравнение: ,

Общее решение имеет вид: , где .

Ответ:

Задача 5. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка:

Решение: Данное уравнение является неоднородным дифференциальным уравнением 2го порядка.

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: .

Составим и решим характеристическое уравнение: ,

Общее решение имеет вид: , где .

_{Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде:}

Составим систему:

В данном случае:

Таким образом:

Решим систему по формулам Крамера:

значит система имеет единственное решение.

В результате общее решение исходного уравнения имеет вид:

Ответ:

Задача 6. Найти общее решение системы линейного дифференциальных уравнений:

Решение:

Выразим y из первого уравнения системы:

Дифференцируем по t:

Подставим y и во второе уравнение системы:

Характеристическое уравнение:

Тогда .

Дифференцируем по t:

Подставим и в уравнение (*):

Общее решение системы:

Ответ:

Контрольная работа № 2

Вариант 5

Задача 1. Найти частные производные функции , заданной неявно:

Решение:

Рассматриваем функцию трёх переменных . Тогда частные производные можно найти по следующим формулам:

Таким образом:

Задача 2. Построить матрицу Якоби отображения, заданного системой уравнений

И найти производные функций и , если

Решение:

Вычислим частные производные:

Матрица Якоби имеет вид:

Таким образом:

Задача 3. Найти точки локального экстремума функции:

Решение: Найдем стационарные точки. Для этого найдем частные производные 1-го порядка:

И решим систему:

Таким образом, получили 2 стационарные точки:

Проверим выполнение достаточного условия экстремума:

Для точки

значит в точке существует экстремум, так как , то это максимум.

Для точки

значит необходимо еще исследовать.

Ответ: точка максимума.

Задача 4. Найти решение задачи на условный экстремум методом множителей Лагранжа:

Решение:

Составим функцию Лагранжа:

Найдём частные производные 1-го порядка:

Найдём стационарные точки:

Из первых двух уравнений выразим:

– подставим в уравнение связи:

Если

то

Если

то  

Проверим выполнение достаточного условия экстремума. Составим дифференциал второго порядка:

Найдём частные производные второго порядка:

Таким образом:

При

, значит, функция достигает условного максимума в точке .

При

, значит, функция достигает условного минимума в точке .

Ответ: при условии :

Задача 5. Найти неопределенный интеграл:

Решение:

Решим данный интеграл приведя его к табличному виду:

Ответ:

Задача 6. Вычислить определенный интеграл:

Решение:

Решим данный интеграл методом интегрирования по частям:

Ответ:

Задача 8. Исследовать на сходимость несобственный интеграл (если несобственный интеграл сходится, то найти его значение):

Решение:

таким образом, исследуемый ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

Задача 8. Исследовать на сходимость числовой ряд

Решение:

Воспользуемся признаком Даламбера:

значит ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

Задача 9. С помощью двойного интеграла вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной прямыми.

Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже:

Вычислим точки пересечения прямых:

Выберем следующий порядок обхода области:

Таким образом:

Ответ: