Примеры решенных задач по математике - Контрольная 2

                                                                           №394

    Стрелок А поражает мишень с вероятностью 0.6, стрелок B – с вероятностью 0.5 и стрелок С – с вероятностью 0.4. Стрелки дали залп по мишени и две пули попали в цель. Что вероятнее : попал стрелок С в мишень или нет?

    Дано : P(A)=0.6 ; P(B)=0.5 ; P(C)=0.4

                                                                     Решение.

    Введём обозначения : А – «попадание в мишень первым стрелком», B – «попадание в мишень вторым стрелком», С – «попадание в мишень третьим стрелком», D – «попадание в мишень третьим стрелком, при условии, что две пули попали в цель». Тогда, событие D можно выразить через события C, A, B, , :

               D=  

    Так как события , несовместные, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий, получим :

                 P(D)=

    Так как события А, B, С независимы, то по теореме умножения вероятностей независимых событий, получим :

                 P(D)=

    где   P()=1-P(A)=1-0.6=0.4 ; P(=1-P(B)=1-0.5=0.5

                  P(D)=0.6×0.5×0.4+0.4×0.5×0.4=0.2

    Найдём вероятность события - «стрелок С не попал в мишень, при попадании двух пуль», противоположного событию D :

                  P()=P(AB)=P(A)P(B)P()=0.6×0.5×0.6=0.18

                   где P()=1-P(С)=1-0.4=0.6

    Так как P(D)>P() , то попадание стрелка С в мишень при одном залпе, при условии, что в мишень попало две пули, вероятнее, чем промах.

    Ответ : попадание стрелка С в мишень более вероятно, чем промох.

 

 

 

 

                                                                         № 404

    Задана непрерывная случайная величина X своей плотностью распределения вероятностей f(x) . Требуется :

    1) определить коэффициент А ;

    2) найти функцию распределения F(x) ;

    3) схематично построить графики функций f(x) и F(x) ;

    4) вычислить математическое ожидание и дисперсию X;

    5) определить вероятность того, что X примет значение из интервала (a, b).

    Дано : f(x)= ; a= ; b=

                                                                      Решение.

    1) Определим коэффициент А. Поскольку все значения данной случайной величины заключены на отрезке [0 ; π/2], то

  

    2) Найдём функцию распределения F(x), с помощью отношения 

    При x≤0 имеем :

              F(x)=

    При 0<x< имеем : F(x)=

    При x> получаем :

     F(x)=

    Таким образом, получаем :

  F(x)=

    3) на рисунке построены графики f(x) и F(x).

    4) вычислим математическое ожидание и дисперсию X.

    Математическое ожидание по формуле :

     M(x)=

    Находим дисперсию непрерывной случайной величины.

    M(X2)=

    =

    5) определим вероятность того, что X примет значение из интервала (a, b).

    Вероятность того, что X примет значение из интервала , находим следующим образом : P=F-F=-

    Ответ : 1) A=1 ; 2) F(x)= ; 3) M(X)= ; 4) D(X)= ; 5) P.

 

 

 

 

 

 

                                                                        № 414

    Нормально распределённая случайная величина X задана своими параметрами а ( математическое ожидание) и σ (среднее квадратическое отклонение). Требуется :

    а) написать плотность вероятностей и схематически изобразить график ;

    б) найти вероятность того, что X примет значение из интервала (α;β) ;

    в) найти вероятность того, что X отклонится (по модулю) от а не более, чем на δ ;

    г) применяя правило «трёх сигм» найти значения случайной величины X.

    Дано : a=4 , σ=2, α=5 , β=6 , δ=4.

                                                                    Решение.

    а) плотность вероятности нормально распределённой случайной величины имеет вид :

   f(x)= , где а – математическое ожидание ; σ – среднее квадратическое отклонение.

    В нашем случае а=4, σ=2, тогда  : f(x)=

    Изобразим график функции f(x) :

   б) найдём вероятность того, что X примет значение из интервала (α;β) ;

            P(α<X<β)=Ф- Ф

            P(5<X<6)=Ф- Ф=Ф(1) – Ф(0.5)

    По таблице значений функции Лапласа находим Ф(1)=0.3413 ; Ф(0.5)=0.1915

    Тогда : P(5<X<6)=0.3413 - 0.1915=0.1498

    в) найдём вероятность того, что X отклонится (по модулю) от а не более, чем на δ ;

    Воспользуемся формулой : P(|X-a|<δ)=2Ф(δ/σ)

    В нашем случае : P(|X-4|<4)=2Ф(4/2)=2Ф(2)=2×0.4772=0.9544

     где  Ф(2)=0.4772

    г) применяя правило «трёх сигм» найдём значения случайной величины X.

     Из равенства : P(|X-a|<3σ)=0.9973

    Из неравенства : |X-4|<3 получаем -3<X-4<3 ; 4-3<X<4+3 ; 1<X<7

    Значит значения случайной величины X лежат в интервале : (1 ; 7)

     Ответ : а) f(x)= ; б) P(5<X<6)=0.1498 ; в) P(|X-4|<4)=0.9544 ; г) X∈(1 ; 7).

                                                                       

№ 424

    АТС имеет к линий связи. Поток вызовов – простейший с интенсивностью λ вызовов в минуту. Среднее время переговоров составляет t мин. Время переговоров распределено по показательному закону. Найти : 1) абсолютную и относительную пропускные способности АТС ; 2) вероятность того, что все линии связи заняты ; 3) среднее число занятых линий связи ; 4) определить, имеет ли АТС число линий связи, достаточное для того, чтобы вероятность отказа не превышала α.

    Дано : k=5 ; λ=0.7 ; t=3.5 ; α=0.05

                                                                    Решение.

    1) найдём абсолютную и относительную пропускные способности АТС.

Так как время переговоров распределено по показательному закону и среднее время переговоров t, то пропускная способность одной линии : a=1/t. Пропускная способность АТС, имеющей к линий :    k/t=5/3.5=1.4 1/мин. Относительная пропускная способность : δ=k/(tλ)=

=1.4/(0.8×3.5)=0.5

    2) вероятность того, что все линии связи заняты

    Вероятность того, что все линии связи заняты , равна вероятности того, что за 1 мин поступит пять вызовов. Для этого воспользуемся формулой Пуассона :

         Pt(k)=

    В нашем случае : P1(5)==0.0007

    3) среднее число занятых линий связи

    Среднее число занятых линий равно среднему числу вызовов : N=1/λ=1/0.7=1.43

    4) определить, имеет ли АТС число линий связи, достаточное для того, чтобы вероятность отказа не превышала α.

    Так как вероятность того, что хотя бы одна линия связи свободна P1(k≥1)=1-P1(5)=

=1-0.0007=0.9993 больше чем вероятность безотказного прохождения вызова p=1-α=

=1-0.05=0.95, то АТС имеет число линий, достаточное для того, чтобы вероятность отказа не превышала 0.05.

    Ответ : 1) a=1.4 ; δ=0.5 ; 2) P1(5)=0.0007 ; 3) N=1.43 ; 4) число линий АТС , достаточно для того, чтобы вероятность отказа не превышала 0.05.