Примеры решенных задач по математике - Контрольная 1

Ниже приведены условия и решения задач. Закачка решений в формате doc начнется автоматически через 10 секунд.

№ 324

Выяснить, сходится, ли заданный ряд.

Дано :

Решение.

Для исследования сходимости ряда, применим признак Даламбера.

Зная n-й член ряда, находим следующий за ним (n+1)-й член, заменяя в выражении n-го члена n через n+1. затем ищем предел отношения последующего члена un+1 к предыдущему un при неограниченном возрастании n :

Здесь ρ<1. Поэтому согласно признаку Даламбера данный ряд сходится.

Ответ : ряд сходится.

№ 334

Определить область сходимости данного ряда.

Дано :

Решение.

Имеем : un= ; un+1=

Радиус сходимости R находим по формуле : R=

Тогда R=

Следовательно, на основании теоремы Абеля, исходный ряд абсолютно сходится в интервале

или . Исследуем сходимость ряда на концах интервала ходимости.

Пусть x= -. Тогда получим ряд : . Этот знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница. В самом деле,

; , т.е., члены ряда убывают по абсолютной величине.

Пусть x=. Тогда, получим ряд : . Этот ряд с положительными членами сходится. Так как каждый его член, начиная с первого меньше соответствующего члена бесконечной геометрической прогрессии , которая сходится (так как её знаменатель 1/2<1). А, значит, по признаку сравнения сходится и исходный ряд. Итак, заданный ряд сходится в области Ответ : x∈

№ 344

Разложить функцию f(x) в ряд Фурье в указанном интервале. Выписать полученный ряд и три первых члена разложения отдельно. Построить графики функций f(x) и её приближения

S2(x)=

Дано : f(x)= в интервале (-1 ; 1).

Решение.

Ряд Фурье функции f(x), определённой на отрезке [-l ; l], l>0

(1)

Данная функция f(x)= – чётная, вследствие чего все коэффициенты bn=0, а коэффициенты an вычисляются по формуле :

an=, n=0,1,2,… (2)

По формуле при l=1, получаем (в интервале функция определяется формулой

f(x)=x – 1) :

an=(интегрируем по частям)=

= , при n=1, 2, 3, …, n≠0

При n чётном cos(nπ)=1 и an=0 ; при n нечётное cos(nπ)=-1 и an= , k=1, 2, 3, …

При n=0 полученное здесь выражение для an непригодно, вследствие чего коэффициент а0 вычисляем отдельно, полагая n=0 в формуле (2) :

a0=

Подставляя найденные коэффициенты в ряд Фурье (1), получим

S(x)=

Выпишем три первых члена : u0= ; u1= ; u2=

Построим графики функций : f(x)= и S2(x)=

Ответ : S(x)=

№ 354

Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, применяя метод операционного исчисления. Сделать проверку найденного решения.

Дано : y//+2y/-3y=et , y(0)=0 , y/(0)=0

Решение.

Заданное уравнение – есть линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение y=y(t) будем искать операционным методом. По таблице изображений находим лапласовы изображения входящих в уравнение слагаемых.

L[y(t)]=Y(p) ; L[y//(t)]=p2Y(p)-py(0)-y/(0)=p2Y(p) ;

L[y/(t)]=pY(p)-py(0)=pY(p)

L[et]==

Подставляя найденные изображения в исходное уравнение, получаем изображающее уравнение, которое всегда является линейным алгебраическим уравнением относительно Y(p).

p2Y(p)+2pY(p)-3Y(p)=

Y(p)=

Разлагаем дробь в правой части на простейшие дроби.

, откуда

1=A(p2+3p-p-3)+Bp+3B+C(p2-2p+1)=Ap2+2Ap-3A+Bp+3B+Cp2-2Cp+C=

=p2(A+C)+p(2A+B-2C)-3A+3B+C

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , получим систему уравнений для определения коэффициентов A, B и С.

; откуда A= ; B= ; C=

Следовательно, Y(p)=

Переходим к оригиналам Y(p)→y(t)

; ; и окончательно получаем

y(t)=

Сделаем проверку. Для этого найдём y//(t) и y//(t)

y/(t)= ;

y//(t)=

Подставим y(t), y/(t) и y//(t) в исходное уравнение.

Ответ : y(t)=

№ 364

Вычислить криволинейный интеграл. Выполнить чертёж дуги кривой.

Дано : , где L – дуга кривой y=x2 от точки (1 ; 1) до точки (2 ; 4)

Решение.

Пользуясь , уравнением линии интегрирования, преобразуем криволинейный интеграл в обыкновенный интеграл с переменной x, затем вычисляем его

y=x2 ; dy=2xdx

Выполним чертёж дуги кривой.

№ 374

Найти поток векторного поля в направлении нормали через поверхность треугольника S, высекаемого координатными плоскостями из плоскости, проходящей через точку P перпендикулярно вектору . Сделать чертёж.

Дано : =(x-2y+z) ; (1 ; 2 ; 2) ; P(0 ; 2 ; 0 )

Решение.

Уравнение плоскости, проходящей через точку М0(x0 ; y0 ; z0) перпендикулярно нормальному вектору (A, B, C) имеет вид :

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

Составим уравнение заданной поверхности S (плоскости, проходящей через точку P перпендикулярно вектору ).

(x-0)+2(y-2)+2(z-0)=0 ; x+2y-4+2z=0 ; x+2y+2z-4=0

Следовательно, поверхность S есть часть плоскости x+2y+2z-4=0.

Последнее уравнение запишем в форме уравнения в отрезках

Отсюда, отрезки координатных осей, отсекаемые плоскостью от начала координат О, равны x=4 ; y=2 ; z=2. Строим поверхность S. Треугольник ABC есть искомая поверхность S с нормальным вектором (1; 2; 2)