Пример решенной контрольной работы по аналитической геометрии
Вариант 11
Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма
А(5; 3), В(2; 1),С(3; -5). Не находя координаты вершины D, найти:
1) уравнение стороны AD;
2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
3) длину высоты BK;
4) уравнение диагонали BD;
5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.
Решение
1) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, имеет вид
Найдем уравнение прямой BС:
Запишем полученное уравнение в общем виде:
Запишем уравнение с угловым коэффициентом:
Воспользуемся тем фактом, что противоположные стороны параллелограмма параллельны. Составим искомое уравнение прямой AD как уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно прямой ВС.
Угловые коэффициенты прямых AD и ВС совпадают, следовательно, можно записать:
Подставим координаты точки А и получим уравнение прямой с угловым коэффициентом:
(AD)
Составим уравнение прямой в общем виде:
2) Из условия перпендикулярности двух прямых найдем угловой коэффициент
Подставим в уравнение координаты точки В:
Запишем уравнение высоты BK в общем виде:
Запишем это же уравнение в виде с угловым коэффициентом:
(ВК)
3) Расстояние от точки до прямой найдем по формуле:
По условию В(2; 1), прямая AD определяется уравнением
Таким образом, длина высоты BK равна:
4) Обозначим Е - середина отрезка АС.
Координаты середины отрезка найдем по формуле:
Подставим координаты точек А(5; 3) и С(3; -5):
Следовательно .
Найдем уравнение прямой ВЕ:
Запишем это уравнение в общем виде:
Запишем это же уравнение в виде с угловым коэффициентом: (ВD)
5) Найдем уравнение диагонали АС:
Общее уравнение:
Уравнение с угловым коэффициентом имеет вид:
Угловой коэффициент k1 = 4
Уравнение диагонали BD имеет вид
Угловой коэффициент k2 = -1
Тангенс угла φ между двумя прямыми определяется формулой
Следовательно
Отсюда:
Задача 2. Даны точки A(2; -3; -2), B(-1; 3; 0), C(-2; 0; 1), D(4; -1; 3). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС;
3) расстояние от точки D до плоскости ABC;
4) канонические уравнения прямой АD;
5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку B параллельно прямой AD;
6) синус угла между плоскостью ABC и прямой AD.
Решение
1) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, имеет вид:
Найдем общее уравнение плоскости АВС:
или
Раскроем определитель по первой строке:
Получили уравнение плоскости АВС:
2) Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, имеет вид:
Подставим координаты точки D:
В качестве нормального вектора плоскости можно взять вектор
Таким образом, запишем общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС.
3) Расстояние от точки D до плоскости ABC найдем по формуле:
Следовательно
4) Уравнения прямой, проходящей через точки, имеют вид:
Найдем канонические уравнения прямой АD.
5) Канонические уравнения прямой имеют вид:
Подставим координаты точки В:
В качестве направляющего вектора можно взять вектор
Следовательно, канонические уравнения прямой, проходящей через точку B параллельно прямой AD, имеет вид:
6) Угол между прямой и плоскостью определяется формулой:
Найдем синус угла между плоскостью ABC и прямой AD.
Ответ: 1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) .
Задача 3. Уравнение кривой второго порядка путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить кривую.
Решение
Сгруппируем слагаемые:
Выделим полный квадрат:
Разделим обе части равенства на 36:
Выполним параллельный перенос осей координат по формулам
При таком преобразовании начало координат переносится в точку , уравнение эллипса принимает канонический вид .
В нашем примере
Итак, рассматриваемое уравнение определяет гиперболу с центром в точке и полуосями а = 2 и b = 3.
Ответ:
Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением .
Требуется:
1) найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный , начиная от до ;
2) построить полученные точки;
3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала);
4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат.
Решение
Сначала построим таблицу значений j и r.
j |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
0,00 |
0,20 |
0,39 |
0,59 |
0,79 |
0,98 |
1,18 |
1,37 |
1,57 |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
1,77 |
1,96 |
2,16 |
2,36 |
2,55 |
2,75 |
2,95 |
3,14 |
Построим все точки, определенные в таблице и соединим их линией.
Запишем уравнение рассматриваемой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Воспользуемся формулами перехода от декартовой к полярной системе координат.
Получаем
Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами
1) ;
2) .
Решение
1)
Построим прямые х = 1 и х = 2 и заштрихуем область между ними.
Построим прямую y = -x.
Заштрихуем область, лежащую ниже оси ОХ и выше прямой y = -x.
Пересечение всех заштрихованных областей и определит множество точек, представляющих решение рассматриваемой системы.
2)
Построим линию, определяемую уравнением
Получили уравнение окружности с центром в точке (0;-1) и радиуса 3.
Эта линия представляет собой ту часть окружности, на которой
Решением рассматриваемого двойного неравенства является часть плоскости, расположенная между осью ОY и окружностью .