Пример решенной контрольной по линейной алгебре

Задание №1

Дана матрица . Найти:

1)         Базис линейной оболочки строк матрицы

2)         Базис пространства решений системы

Решение:

Элементарными преобразованиями над строками матрицы приведем ее к ступенчатому виду:

Поменяем местами первую и вторую строки:

Умножим первую строку на 2 и сложим со второй, умножим первую строку на 3 и сложим с третьей, умножим первую строку на (-3) и сложим с четвертой, умножим первую строку на 3 и сложим с пятой

Умножим вторую строку на 4 и сложим с третьей, умножим вторую строку на (-1) и сложим с четвертой, умножим вторую строку на 3 и сложим с пятой

Разделим третью строку на (-6), разделим четвертую строку на 2, разделим пятую строку на (-5)

Умножим третью строку на (-1) и сложим с четвертой, умножим третью строку на (-1) и сложим с пятой

Строки матрицы 1, 2, 3 линейно независимы. Ранг матрицы равен 3, переменных 5, значит, базис пространства решений состоит из двух векторов. Примем переменные  за базисные, а переменные  за свободные. Выразим базисные переменные через свободные:

Сложим третью и вторую строки, умножим третью строку на 2 и сложим с первой

Умножим вторую строку на (-1)

Умножим вторую строку на (-3) и сложим с первой

Положим  получим первый базисный вектор пространства решений:

Положим  получим второй базисный вектор пространства решений:

 

Задание №2

Найти координаты столбца  в ортогональном базисе:

.

Решение:

1)                 1 способ

Представим вектор  в виде линейной комбинации векторов

Последнему равенству соответствует система уравнений:

Решим систему уравнений по формулам Крамера:

2)                 Способ 2

Так как базис ортогональный, то координаты вектора  в базисе  можно найти по формулам:

 

 

Задание №3

Даны столбцы  и . Найти столбец , ортогональный  так, чтобы линейные оболочки  и  совпадали.

Решение:

Найдем вектор , применяя процесс ортогонализации:

Учитывая, что вектор  есть линейная комбинация векторов  и , то

Аналогично, вектор  есть линейная комбинация векторов  и , поэтому

Откуда получаем, что

 

Задание №4

Запишите матрицу линейного оператора  в базисе , если известно, что ,

Решение:

-ый столбец матрицы оператора  в базисе  равен столбцу координат элемента  в этом базисе:

Получаем

 

Задание №5

В стандартном базисе пространства  найти матрицу оператора , если

, где

Решение:

Найдем образы базисных векторов

-ый столбец матрицы оператора  в стандартном базисе равен столбцу координат элемента  в этом базисе: