Линейная алгебра.

Вариант 4

№1 Вычислить, если

Решение.

Ответ:

№2 Вычислить и, если

Решение.

Ответ: ,

№3 Вычислить

   

Решение.

а) Вычислим определитель методом треугольников

б) Вычислим определитель, получив предварительно нули в 1-ой строке.

Умножим третий столбец определителя на -3 и прибавим к первому, умножим третий столбец определителя на -7 и прибавим ко второму, умножим третий столбец определителя на -1 и прибавим к четвертому. Тогда в первой строке все элементы, кроме одного, будут нулями.

Ответ: а) 40, б) 553

 

№4 Найти ранг матрицы

Решение.

Ранг матрицы – это наивысший порядок минора, отличного от нуля.

Исходя из определения ранга матрицы, будем искать минор наивысшего порядка, отличный от нуля. Сначала преобразуем матрицу к более простому виду. Для этого первую строку матрицы умножим на - и прибавим ко второй и третьей строкам:

-разделим третью строку на -1

Поскольку вторая и третья строки пропорциональны, то одну из них можно вычеркнуть, что не изменит ранг. Получаем , так как в матрице есть минор второго порядка, отличный от нуля, а миноры более высокого порядка отсутствуют.

Ответ: ранг матрицы равен 2

 

№5 Найти матрицу, обратную данной

Решение.

Найдем обратную к матрице A матрицу A-1 по формуле

Вычислим определитель матрицы

Найдем алгебраические дополнения

Обратная матрица

Ответ:

 

№6 а) Решить системы: а) по формулам Крамера, б) матричным способом

а)    б)   

Решение.

а)

Находим главный определитель системы

Находим вспомогательные определители , полученные заменой в определителе столбца из коэффициентов при неизвестном , столбцом свободных членов системы

По формулам Крамера, имеем

б)

Рассмотрим матрицы

     

Тогда

Найдем обратную к матрице А матрицу А-1 по формуле

Вычислим определитель

Найдем алгебраические дополнения

Обратная матрица

Находим

таким образом, 

Ответ: а) , б)

 

Практическое занятие №4

№1 Доказать, что (указать )

Решение.

По определению предела числовой последовательности , .

Будем решать последнее неравенство относительно :

Таким образом, получили, что неравенство выполняется не для всех номеров , а только для тех, которые больше , следовательно, за можно взять целую часть числа , то есть .

и тогда при .

Ответ:

 

№2 Доказать(указать ), что

Решение.

Пусть произвольное положительное число. Найдем такое число (зависящее от ), чтобы для всех , удовлетворяющих неравенству , выполнялось неравенство .

Преобразуем

 .

Используя неравенство , оценим :

Следовательно, . Для выполнения неравенства достаточно потребовать, чтобы то есть чтобы .

Ответ:

№3 Вычислить предел функции

Решение.

Так как числитель и знаменатель обращается в нуль при , то 1 – корень обоих многочленов, а значит, каждый из них разлагается на множители, одним из которых будет . Получаем

 

Ответ: 0

 

№4 Вычислить предел функции

Решение.

Избавимся от иррациональности в числителе

Ответ:

 

№5 Вычислить предел функции

Решение.

Используем  первый замечательный предел ,

формулу понижения степени

формулу

Ответ:

 

№6 Вычислить предел функции

Решение.

Ответ: 2

 

№7 Вычислить предел функции

Решение.

Используем формулы

, тогда

Ответ:

 

№8 Вычислить предел функции

Решение.

Так как

Тогда

Ответ:

 

№9 Вычислить предел функции

Решение.

Так как , то

Ответ:

 

№10 Вычислить предел функции

Решение.

Так как , то

Ответ:

 

№11 Вычислить предел функции

Решение.

Так как неопределенности нет, то

Ответ:

 

Практическая работа №5

№1 Найти производные функции

а)

б)

в)

Решение.

а)

Используем формулы

б)

Используем формулы

, 

в)

Прологарифмируем данную функцию

Продифференцируем полученную функцию

Использовали формулу

Ответ: а) , б) ,

в)

 

 

№2 Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию. Найти асимптоты и построить график

Решение.

Решение.

1. Функция определена, если

  значит область определения .

2. Найдем нули функции

Если х=0, то

график пересекает ось ОY в точке (0;0)

Если у=0,то

 

график пересекает ось Ох в точке (0;0)

3. Выясним, является ли функция четной или нечетной. Находим

Функция  является нечетной

4.               Данная функция не является периодической, так как значение функции изменится при добавлении к аргументу определенного, не равного нулю числа.
5. Находим промежутки монотонности и точки экстремума функции.

Производная

 

определена на

Для нахождения критических точек, решаем уравнение

Получили критические точки ,, .

Так как при  , то на интервалах  функция возрастает,

при , то на интервалах  функция убывает.

При x=-3 функция имеет максимум, т.к. переходе через эту точку меняет знак с «+» на «».

, значит точка   - точка максимума

При функция имеет минимум, т.к. переходе через эту точку меняет знак с «-» на «+».

, значит точка   - точка минимума

6. Определим интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба.

Находим вторую производную

 

Она определена для . 

  , при

Так как при , то функция выпукла на интервалах ;

при , то функция вогнута на .

Точка x = 0 – точка перегиба, так как при переходе через эту точку  производная меняет знак.

7.               Определим вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты графика функции.

Функция является непрерывной во всех точках области определения. В точках   , функция имеет разрыв.

Значит в точках   , функция имеет разрыв 2-го рода

А прямые - вертикальные  асимптоты.

Найдём наклонные асимптоты , где

 Следовательно, y = x- уравнение наклонной асимптоты

График функции