Интегралы, дифференциальные уравнения, ряды -примеры решения.

№1 Найти неопределенные интегралы

а) ,   б) ,  в) ,  г)

Решение.

а)

 

При вычислении использовали табличные интегралы

, ,

б)

Используем теорему о «замене типа подведение под знак дифференциала»

 , где t = g(x)

В данном случае . Тогда

 

в)

Для вычисления данного интеграла будем использовать формулу интегрирования по частям

Обозначим: , . Тогда

В итоге получим

Интеграл также вычислим при помощи формулы интегрирования по частям

Обозначим: , . Тогда

В итоге получим

Тогда

г)

Ответ: а) , б) ,в) ,

г)

 

№2 Вычислить определенные интегралы

а) , б)   , в)  ,  г)

Решение.

а)

б)

 

При вычислении использовали табличный интеграл

в) 

Используем метод интегрирования по частям:

Обозначим: , . Найдем v 

Найдем :

Тогда

г)

Применяем подстановку , тогда

При x=0  

При x=  

Переходя к новой переменной, получаем

Ответ: а) , б) , в) , г)

 

№3 Найти общие решения дифференциальных уравнений

а) , б)

Решение.

а)

Данное уравнение является уравнением с разделяющими переменными.

  Постараемся преобразовать уравнение так, чтобы в левой его части было выражение, содержащее только переменную y, а в правой неизвестную функцию x.

Равенство дифференциалов предполагает, что сами функции отличаются друг от друга на некоторую константу С, т.е.

б)

Данное уравнение является уравнением с разделяющими переменными.

Ответ: а) , б)

 

№4 Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение

Решение.

Разделим уравнение на

Данное уравнение является линейным.

Сделаем подстановку  , где - неизвестные функции   от х. Тогда . Подставляя выражения и в данное уравнение, получаем:

Подберем функцию так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т.е. решим диф. уравнение  . Итак,

Ввиду свободы выбора функции , можно принять с=1. Отсюда   Подставляя найденную функцию в уравнение (*), получаем:

Возвращаясь к переменной , получаем решение

Ответ:

 

№5 Найти решение задачи Коши

,

Решение.

Данное уравнение является уравнением, допускающим понижение порядка.

Полагаем , получим . Подставим данные выражения в исходное уравнение

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяем переменные

Заменяя вспомогательную переменную р через , получим уравнение

Чтобы найти указанное частное решение, подставим начальные данные в полученное выражение

Тогда

Таким образом, частное решение имеет вид

Ответ:

 

№6 Решить уранение

Решение.

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения

Составим характеристическое уравнение . Решаем его:

Тогда общее решение исходного уравнения есть

 .

 Переходим к отысканию частного решения исходного уравнения. В данном случае частное решение ищем в виде

           Найдем производные данной функции

 Подставим данные выражения в исходное уравнение, получаем

   

            Следовательно, частное решение имеет вид

 Общее решение имеет вид

Ответ:

 

№7 Исследовать на сходимость ряд

Решение.

Воспользуемся признаком Даламбера.

Так как то ряд - сходится.

Ответ: ряд сходится по признаку Даламбера

 

 

№8 Найти области сходимости степенных рядов:

а) , б)

Решение.

а)

Найдем радиус сходимости по формуле

Где

то     есть  ряд сходится при   ,      отсюда      границы      интервала      сходимости

Исследуем отдельно точки

При х =   имеем ряд

Это знакочередующийся ряд, для которого не выполнены условия признака Лейбница:

Общий член ряда не стремится к нулю:

При х =1   имеем ряд

Данный ряд расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости рядов

Следовательно, областью сходимости исходного ряда является интервал

б)

Интервал сходимости находим из следующего условия:

Тогда

Следовательно, ряд сходится при

  .

Исследуем сходимость ряда на концах этого интервала.

При х =3  имеем ряд

 

Это знакочередующийся ряд, для которого выполнены условия признака Лейбница:

1)    Общий член ряда стремится к нулю:

2)    Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает:

Следовательно ряд сходится условно по признаку Лейбница.

При х =5  имеем ряд

 

Это знакочередующийся ряд, для которого выполнены условия признака Лейбница.

Следовательно, областью сходимости исходного ряда является отрезок [3,5].

Ответ: а) ,  б) [3,5].

 

 

 

 

 

№9 Разложить функцию в ряд Маклорена и указать область сходимости полученного ряда.

Решение.

Разложим функцию в ряд, для чего воспользуемся формулой

заменив в этой формуле x на . Получим:

Разложение функции имеет вид

 Определим область сходимости. Поскольку разложение экспоненты

сходится при любом х, то область сходимости полученного ряда: 

Ответ: ,