Аналитическая геометрия.

№1 Составить уравнение прямой, которая проходит через точку М(-3,2) и параллельна прямой

Решение.

Уравнение прямой будем искать по формуле

Так как у параллельных прямых угловые коэффициенты равны k1=k2 , то

Подставим угловой коэффициент и точку М(-3,2) в уравнение (1)

Искомое уравнение прямой

Ответ:

 

№2 Через точку М(2,5) провести прямую так, чтобы ее отрезок, заключенный между осями координат, делится в этой точке пополам.

Решение.

Пусть данная прямая пересекает ось ОY в точке А(0,а), ось ОХ в точке В(b,0). Координаты середины отрезка АВ (это точка М) равны

Получим

Составим уравнение прямой АВ с помощью формулы

Ответ:

 

№3 Составить уравнение сторон треугольника, зная одну из его вершин     А(-1,3) и уравнения двух высот

   Р ешение. Выполним рисунок

 

Пусть высота ВН1 имеет уравнение

а  высота СН2 задается уравнением

  Так как известны уравнения высот, то известны координаты нормальных векторов этих высот n1(3; – 4)- нормальный вектор высоты ВН1 и n2(5; 2) - нормальный вектор высоты СН2. Так как стороны треугольника АС и АВ должны быть перпендикулярными этим высотам то для вывода уравнения этих сторон воспользуемся формой уравнения прямой, проходящей через данную точку А(-1,3) в данном направлении:

 

Координаты точки В найдем как точку пересечения прямой АВ и высоты ВН1. Для этого составим систему уравнений

 

 

 

  

 

Координаты точки В(4,5)

Координаты точки С найдем как точку пересечения прямой АС и высоты СН2. Для этого составим систему уравнений

 

 

 

  

 

Координаты точки С(2,-1)

 

   Уравнение стороны ВС построим, воспользовавшись формой уравнения прямой, проходящей через две заданные точки В(4,5) и С(2,-1)

 

Уравнение стороны АС, где А(-1,3) и С(2,-1), имеет вид

Уравнение стороны АВ, где А(-1,3) и В(4,5), имеет вид

Ответ: уравнение АВ , уравнение АС ,

уравнение ВС

 

№4 Найти фокальный радиус точки М параболы, если абсцисса этой точки равна7.

Решение.

Фокальный радиус точки параболы найдем по формуле

  , где х – абсцисса точки М, р – параметр параболы

По условию х=7.

Определим параметр р. Так как каноническое уравнение параболы имеет вид , то

Тогда фокальный радиус равен

Ответ: 12

 

№5 Определить вид кривой, найти ее оси, фокусы, уравнения директрис, построить эту кривую

Решение.

Для приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду применим метод выделения полного квадрата.

Сгруппируем слагаемые, содержащие текущие координаты. Коэффициенты при  и  вынесем за скобки: 

Выделим полный квадрат: 

Разделим обе части равенства на 2: 

Запишем полученное уравнение в каноническом виде: 

 

Данная кривая – эллипс с центром в точке (-1/2, 0).

Найдем ее оси. Большая полуось равна , малая полуось равна .

Фокусы эллипса находятся в точках и , где

Тогда

и

Директрисами эллипса называются прямые, определяемые уравнениями

, где

Директрисы равны

Построим данную кривую

Ответ: ,, , , ,

№6 Назвать и построить кривую

Решение.

Для приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду применим метод выделения полного квадрата.

Сгруппируем слагаемые, содержащие текущие координаты. Коэффициенты при  и  вынесем за скобки: 

Выделим полный квадрат: 

Данная кривая есть гипербола с центром в точке (3,-2), с фокусами на оси ординат.

Построим данную кривую.

Ответ: - гиперола

 

№7 Определить вид и параметры поверхности, построить ее методом сечений

Решение.

Данная поверхность – однополостный гиперболоид с центром в точке        (-2,0,1),  параметры , вытянутый вдоль оси ОХ.

Исследуем поверхность методом параллельных сечений.

  Будем пересекать поверхность горизонтальными плоскостями .

Подставим в уравнение. Получим

При любом таком сечении получаются гиперболы  с фокусами на оси ординат , полуосями , центр в точке (-2,0,0)

Подставим в уравнение. Получим

При любом таком сечении получаются эллипсы  с фокусами на оси ординат , полуосями , центр в точке (0,0,1)

Подставим в уравнение. Получим

При любом таком сечении получаются гиперболы  с фокусами на оси OZ , полуосями , центр в точке (-2,0,1)

Координатные плоскости являются плоскостями симметрии. Поверхность изображена на рисунке

№8 Назвать и построить поверхности

а)

б)

Решение.

а)

Данная поверхность представляет собой параболический цилиндр, с центром в точке (0,0,1), вытянутый вдоль оси OY.

б)

Данная поверхность представляет собой эллиптический параболоид, с центром в точке (1,0,0), вытянутый вдоль оси OZ.