Примеры решенных задач по гидравлике - 4

    Автоклав объёмом V наполнен водой и закрыт герметично. Определить повышение давление в нём Δp при увеличении температуры воды на Δt, если коэффициент температурного расширения βt=0.00018°C-1, а коэффициент сжимаемости βp=0.42×10-9 Па-1. Изменением объёма автоклава пренебречь. Данные, необходимые для решения задачи, взять из табл. 3.

    Дано : V=1.7 м3 ; Δt=54°C ; βt=0.00018°C-1 ; βp=0.42×10-9 Па-1.

    Найти : Δp

                                                                      Решение.

    Коэффициент температурного расширения жидкостей βt – число, определяющее увеличение объёма жидкости при повышении температуры и определяется выражением :

                            βt=                                                    (1)

    где ΔV – увеличение объёма жидкости, при увеличении температуры на Δt ; V – первоначальный объём.

    Отсюда найдём изменение объёма :

                              ΔV=βtVΔt                                                 (2)

    Так как автоклав наполнен полностью, то повышение объёма ΔV приведёт к повышению давления на Δp. В результате повышения давления жидкость будет сжиматься, компенсируя температурное расширение. Изменение объёма жидкости, при изменении давления характеризуется коэффициентом объёмного сжатия βp, который определяется выражением :

                                βp=                                                   (3)

    С учётом (2) формула (3) примет вид :

                                 βp=

    Отсюда находим повышение давления :

                                Δp=                                                  (5)

    Вычисления по формуле (5) дают :

                                Δp= Па=23 МПа

    Ответ : Δp=23 МПа.

 

 

 

 

                                                                            № 11.

    Найти давление p воздуха в резервуаре B, если избыточное давление на поверхности воды в резервуаре А равно М, разности уровней ртути (δ=13.6) в двух коленном дифференциальном манометре h1 и h2, а мениск ртути в левой трубке манометра ниже уровня воды на h. Пространство между уровнями ртути в манометре заполнено спиртом (δ=0.8).

    Дано : h=1.05 м ; h1=240 мм ; h2=275 мм ; pм=55 кПа ; δ1=13.6 т/м3 ; δ2=0.8 т/м3

    Найти : p

                                                                      Решение.

    Составим уравнение Бернулли для сечений 0-0 и 1-1 :

                  p1+ρgh=p0 , или

                  pм+pатм+ρgh=p0                                     (1)

    где p1 – абсолютное давление в сечении 1-1 ; pм – избыточное давление в сечении 1-1 ; pатм=105 Па – атмосферное давление ; ρ=998 кг/м3 – плотность воды при t=20°C (табл. 1 [2]).

    Составим уравнение Бернулли для сечений 0-0 и 2-2 (ртуть) :

                   p0=p2+δ1gh1                                          (2)

    где p2 – давление в сечении 2-2 ; δ1 – плотность ртути.

    Составим уравнение Бернулли для сечений 2-2 и 3-3 (спирт) :

                   p2+δ2gh1=p3                                           (3)

    где p3 – плотность спирта ; δ2 – плотность спирта.

    Составляем уравнение Бернулли для сечений 3-3 и 4-4 (ртуть) :

                  p3=p+δ1gh2                       

    Отсюда выражаем давление p воздуха в резервуаре B :

                  p=p3-δ1gh2                                                (4)

    Подставляя выражение для p3 согласно (3) в (4), получим :

                  p=p2+δ2gh1-δ1gh2                                      (5)

    Подставляя в (5) выражение для p2, полученное из (2), получим :

                  p=p0-δ1gh1+δ2gh1-δ1gh2                             (6)

    Подставляя в (6) выражение для p0 согласно (1), получим :

                   p=pм+pатм+ρgh-δ1gh1+δ2gh1-δ1gh2=pм+pатм+g(ρh-δ1(h1+h2)+δ2h1)               (7)

    Произведя вычисления по формуле (7), получим :

        p=55×103+105+9.81×(998×1.05-13.6×103×(0.24+0.275)+800×0.24)=98.5×103 Па=98.5 кПа

    Ответ : p=98.5 кПа.

                                                                             № 42.

    Определить диаметр трубопровода, по которому подаётся жидкость Ж с расходом Q, из условия получения в нём максимально возможной скорости при сохранения ламинарного режима. Температура жидкости t=20°C.

    Дано : Ж – бензин ; Q=3.5 л/с.

    Найти : d

                                                                         Решение.

    Расход в трубопроводе определяется выражением :

                              Q=vS=                                      (1)

    где v – скорость жидкости в трубопроводе ; S – площадь сечения трубопровода ; d - диаметр трубопровода.

    Скорость жидкости найдём из формулы, определяющей число Рейнольдса :

                                v=                                             (2)

    где Re – число Рейнольдса ; ν=0.0073×10-4 м2/с – коэффициент кинематической вязкости бензина при t=20°C (табл. 1 [2]).

    С учётом (2) формула (1) примет вид :

                                 Q=

    Отсюда находим диаметр трубопровода :

                                  d=                                       (3)

    Учитывая, что критическое значение числа Рейнольдса, при котором ещё наблюдается ламинарное движение жидкости равно Re=2300, произведём вычисления по формуле (3) :

                                  d= м=2700 мм

    Ответ : d=2700 мм.

 

 

 

 

 

                                                                           № 52.

    В бак, разделённый перегородкой на два отсека, поступает расход воды Q. В дне каждого отсека имеются одинаковые отверстия диаметром d1 и d2, а в перегородке – отверстие диаметром d3. Определить расход через донные отверстия Q1 и Q2.

    Дано : Q=44 л/с ; d1=d2=75 мм ; d3=125 мм.

    Найти : Q1, Q2

                                                                       Решение.

    На основании уравнения неразрывности течений, можно записать :

                 Q=Q1+Q2                             (1)

                 Q=Q1+Q3                             (2)

                  Q2=Q3                                 (3)

   где Q1, Q2, Q3 – расход через отверстие диаметра d1, d2, d3 соответственно.

    Используя формулу расхода при истечении через отверстия, запишем выражения для Q1, Q2 и Q3 :

                  Q1=                     (4)

                  Q2=                      (5)

                  Q3=               (6)

    где μ – коэффициент расхода ; H – высота уровня в левом отсеке ; h – высота уровня в правом отсеке ; S1, S2, S3 – площадь сечения отверстия диаметра d1, d2, d3 соответственно.

    Выражая из уравнения (4) 2gH, из уравнения (5) – 2gh и подставляя в (6), получим :

                   Q2=Q3=                               (7)

    Учитывая, что Q1=Q-Q2 перепишем выражение (7) в виде :

                    Q2=

    Возведя, левую и правую части последнего равенства в квадрат, получим :

                    

    Учитывая, что d1=d2, а, значит S1=S2, получим :

                     

    Раскрывая скобки и перегруппировывая слагаемые, получим :

                                                                             (8)

    Вычислим S1 и S2 :

                      S1= м2

                      S2= м2

    Подставляя в (8) заданные числовые значения, получим уравнение из которого определим Q2 :

                      

                        м3/с=21 л/с

                        

    Так как физическая величина расхода не может быть меньше нуля, то решению задачи удовлетворяет только один корень уравнения, т.е.

                            Q2=21 л/с

    Тогда расход через отверстие диаметра d1 согласно формуле (1) равен :

                             Q1=Q-Q2=44-21=23 л/с

    Ответ : Q1=23 л/с ; Q2=21 л/с.

 

 

                                                                            № 60.

   Центробежный насос с заданной при числе оборотов n=900 мин-1 характеристикой поднимает воду на высоту Hг по трубопроводам l1, d1 (λ1=0.02) и l2, d2 (λ2=0.025). Определить подачу Qн насоса при работе его с числом оборотов n=900 мин-1. Сравнить потребляемые насосом мощности при уменьшении его подачи на 25% дросселированием задвижкой или уменьшением числа оборотов. Местные сопротивления учтены эквивалентными длинами, включенные в заданные длины труб.

    Дано : Hг=7 м ; l1=17 м ; d1=0.27 м ; l2=95 м ; d2=0.22 м.

    Найти : Qн

                                                                      Решение.

    Для определения подачи насоса вычертим заданную характеристику H=f(Q) насоса ( кривая 1). На этом же чертеже построена характеристика η=f(Q) (кривая 2).

    Далее, в том же масштабе построим график требуемого напора установки, определяемый по уравнению :

                             Hн=Hг+                                     (1)

    где Hг – геометрическая высота ; hw - суммарные потери напора во всасывающем и нагнетающем трубопроводах ; p1 и p2 – разность давлений в напорном и приёмном резервуарах (в нашем случае p1=pатм p2=pатм) ; ρ=998 кг/м3 – плотность воды при t=20°C (табл. 1 [2]).

    Потери напора состоят из потерь во всасывающей и нагнетающей линиях :

                               hw=h1+h2                                                       (2)

    где h1 и h2 – потери напора во всасывающем и напорном трубопроводах соответственно.

    Потери напора во всасывающей линии по формуле Вейсбаха-Дарси :

                           h1=                                           (3)

    где λ1 – коэффициент гидравлического трения.

    Согласно (3) потери напора во всасывающей линии :      

                                      h1=                              (4)

    Аналогично, потери напора в нагнетающей линии :

                            h2=        (5)

    С учётом (4) и (5) выражение (2) примет вид :

            hw=19.6Q2+381.1Q2=400.7Q2                                                                       (6)

    С учётом (6) и заданных числовых значений, формула (1) примет вид :

                         Hн=7+400.7Q2                                                                                   (7)

    Для построения характеристики Hн=f(Q) по уравнению (7) составим таблицу.

Q, л/с	0	10	30	50	65
Hн, м	7	7.04	7.4	8	8.7

    По полученным значениям строим зависимость Hн=f(Q) (линия 3).

    Пересечение линии 1 с линией 3 даёт точку А – рабочая точка насоса. По графику определяем расход насоса Q=64 л/с. По графику определяем необходимый напор насоса : H=8.8 м и к.п.д. насоса : η=72%.

    Мощность насоса :

                    N=                                                  (8)

    Вычисления по формуле (8) дают :

                      N= Вт.

    При уменьшении подачи на 25% - Q=48 л/с, напор равен H/=12.5 м.

    Мощность насоса :

                       N/= Вт.

    уменьшится в 1.1 раза.

    где η=82% определяется по графику 3, при Q=48 л/с.     

    Ответ : Q=64 л/с ; H=8.8 м ; N=7658 Вт.

 

 

 

 

                                                                           № 69.

    Перемещение поршней гидроцилиндров с диаметром D=25 см осуществляется подачей рабочей жидкости (ν=1.5 см2/с, γ=14000 Н/м3) по трубам 1 и 2 одинаковой эквивалентной длины l=20 м и диаметром d=5 см. определить силу F2, при которой скорость второго поршня была бы в два раза больше скорости первого поршня. Расход в магистрали Q, первый поршень нагружен силой F1.

    Указание. На перемещение поршней затрачивается одинаковый суммарный напор (считая от точки А).

    Дано : F1=9.6 кН ; Q=10.5 л/с.

    Найти : F2.

                                                                      Решение.

    Суммарный напор в точке А линии 1 :

                      HA1=                                        (1)

    где p/1 – давление в точке А линии 1 ; v/1 – скорость рабочей жидкости в линии 1.

    Суммарный напор в точке А линии 2 :

                       HA2=                                       (2)

    где p12 – давление в точке А линии 2 ; v/2 – скорость рабочей жидкости в линии 2.

    По условию HA1=HA2, тогда, приравнивая правые части уравнений (1) и (2), получим :

                       =                              (3)

    Давление, создаваемое в точке А линий 1 и 2 затрачивается на потери давления в линиях  и 2, на создание давлений в камерах поршней, для их перемещения.

                        p/1=p1+Δp1                                              (4)

                        p/2=p2+Δp2                                              (5)

    где p1 и p2 – давление рабочей жидкости цилиндрах 1 и 2 соответственно ; Δp1 и Δp2 - потери давления в линиях 1 и 2 соответственно.

    С учётом (4) и (5) формула (3) примет вид :

                                  (6)

    Необходимые давления p1 и p2 рабочей жидкости, в цилиндрах определим из уравнений равновесия сил, действующих на поршни :

                  p1=F1/S=  (7)      ;      p2=F2/S=           (8)

    Потери давления в линиях по формулам :

                  Δp1=         ;     Δp2=

    где λ – коэффициент гидравлического трения. Коэффициент гидравлического трения определим по формуле :

                    λ=                                                                 

    где Re – число Рейнольдса.

    Числа Рейнольдса для линий 1 и 2 по формулам :

                  Re1=    ;    Re2=

    Тогда выражения для λ1 и λ2 примут вид :

                   λ1=    ;     λ2=

    С учётом выражений для λ1 и λ2 формулы для потерь давления в линиях, примут вид :

                    Δp1=                            (9)

                     Δp2=                           (10)

    Подставляя (7), (8), (9) и (10) в (6), получим :

                            (11)

    Скорости v/1 и v/2 выразим через расход Q. По условию v2=2v1. Тогда

               ;  Q1=0.5Q2  ; Q1=Q/3  ;  Q2=Q/1.5

    Тогда :

               v/1=          (12) 

               v/2=      (13)

    где S/=πd2/4 – площадь сечение линии.

    С учётом (12) и (13) формула (11) примет вид :

            

            

    Отсюда искомая сила F2 :

              F2=

              F2=                                            (14)

    Вычисления по формуле (14) дают :

      F2=

          Н=4.5 кН.

    Ответ : F2=4.5 кН.