Примеры решенных задач по гидравлике - 3

    Для испытания на прочность резервуара с водой произведена опресовка под давлением p1. Через сутки давление, вследствие утечки из резервуара, понизилось до p2. Определить величину утечки из резервуара, если модуль упругости воды Е=2.03×109 Па. Резервуар имеет форму цилиндра диаметром d и высотой h.

    Дано : p1=2.5 МПа ; p2=2 МПа ; d=1.5 м ; h=1.7 м.

    Найти : ΔV

                                                                     Решение.

    Величину утечки определим из формулы коэффициента объёмного сжатия :

                               βw=                                                          (1)

    где V – первоначальный объём ; ΔV – изменение объёма при изменении давления на Δp.

    В данном случае величина утечки из резервуара равна величине изменения объёма, при изменении давления в резервуаре на Δp. Тогда из (1) находим :

                              ΔV=-βwVΔp                                                            (2)

    Здесь Δp=p2-p1 ;  βw=1/E (где Е – модуль упругости воды) ; V=. Тогда выражение (2) примет вид :

                               ΔV=                                                 (3)

    Вычисления по формуле (3) дают :

                                ΔV= м3=0.7 л.

    Ответ : ΔV=0.7 л.

 

 

 

                                                                           № 13.

    Цилиндрический сосуд диаметром D и высотой a, заполненный водой, опирается на плунжер диаметром d. Определить показание манометра М и нагрузки на болтовые группы А и B, если масса верхней крышки сосуда m1, цилиндрической части сосуда m2 и нижней крышки сосуда m3.

    Дано : D=0.45 м ; a=0.65 м ; d=0.35 м ; m1=350 кг ; m2=200 кг ; m3=170 кг.

    Найти : pм ; FA ; FB

                                                                    Решение.

    Определим показание манометра :

                                  pм=p0-pатм                                (1)

    где p0 – давление на свободной поверхности жидкости ; pатм – атмосферное давление (pатм=105 Па).

    В данном случае p0 равно давлению, производящим верхней крышкой сосуда :

                                   p0=                                     (2)

    где G1 – вес верхней крышки сосуда ; S – площадь свободной поверхности жидкости, равный площади крышки диаметра D.

                      G1=m1g   ;  S=

    С учётом выражений для G1 и S формула (2) примет вид :

                                     p0=                                (3)

    Подставляя (3) в (1), получим :

                            pм=                               (4)

    Вычисления по формуле (4) дают :

                             pм= Па=-78.4 кПа.

    Т.е. манометр показывает вакуумметрическое давление pм=78.4 кПа.

    Определим нагрузку на болтовые соединения группы А. Запишем уравнение равновесия для болтового соединения в проекции на вертикальную ось :

                              FA=P0-G23                                        (5)

    где P0 – сила давления со стороны жидкости ; G23 – вес цилиндрической и нижней частей сосуда.

                               P0=p0S   ; G23=(m2+m3)g

    Тогда выражение  (5) примет вид :

                              FA=       (6)

    Вычисления по формуле (6) дают :

                               FA=9.81×(350-200-170)=-196.2 Н

    Знак «минус» означает, что нагрузка FA направлена вниз.          

    Определим нагрузку на болтовые соединения группы B. Составляя уравнение равновесия болтовых соединений на вертикальную ось, получим :

                               FB=-N-G3                                                       (7)

    где G3 – вес нижней крышки сосуда ; N – сила давления жидкости на нижнюю крышку сосуда.

    Силу давления на нижнюю крышку сосуда определим по формуле :

                                N=S1(p0+ρga)                                               (8)

    где S1= - площадь нижней крышки сосуда ; ρ=998 кг/м3 – плотность воды при t=20°C (табл. 1. [2]) ; а – глубина погружения нижней крышки 9высота сосуда).

    Подставляя (8) в (7) и, учитывая выражения для S1, p0 и G3=m3g, получим :

                      FB=                        (9)

    Вычисления по формуле (9) дают :

      FB= Н

    Знак «минус» означает, что нагрузка FB направлена вниз.

    Ответ : pм=-78.4 кПа ; FA=-196.2 Н ; FB=-3424 Н.

 

 

 

 

 

 

                                                                             № 40.

    Жидкость Ж подаётся в открытый верхний бак по вертикальной труде длиной l и диаметром d за счёт давления воздуха в нижнем замкнутом резервуаре.

    Определить давление p воздуха, при котором расход будет равен Q. Принять следующие коэффициенты сопротивления : вентиля ξв=8 ; входа в трубу ξвх=0.5 ; выхода в бак ξвых=1. эквивалентная шероховатость стенок трубы kэ=0.2 мм.

    Дано : Ж – вода ; Q=10 л/с ; l=10 м ; d=80 мм.

    Найти : p

                                                                      Решение.

    Составим уравнение Бернулли для двух сечений 0-0 и 1-1 трубопровода :

                             или

                                                                               

    Отсюда находим давление воздуха p :

                               p=   (1)                   

    где p+ρgh и ρgh – давления в соответствующих сечениях ; p – давление воздуха ; ρ=998 кг/м3 – плотность воды при t=20°C (табл. 1 [2]) ; hl – потери напора по длине трубопровода ; hw1, hw2, hw3 – потери напора в местных сопротивлениях вентиля, вход в трубу, выход в бак.

    Потери напора по длине трубопровода определим по формуле Вейсбаха-Дарси :

                                hl=                                    (2)

    где λ – коэффициент гидравлического трения ; v – скорость жидкости в трубе (v=4Q/(πd2) ; Q – расход ; l – длина трубопровода ; d – диаметр трубы.

    Для нахождения коэффициента гидравлического трения λ, определим число Рейнольдса :

                                Re=                                                                          (3)

    где ν=0.01×10-4 м2/с – коэффициент кинематической вязкости воды при t=20°C (по табл. 1 [2]).

    Вычисления по формуле (3) дают :

                                Re=   

    Для чисел Рейнольдса  (4000<Re<224000), для определения λ рекомендуется формула Альтшуля :

                               λ=

    или с учётом формулы (3), получим :

                               λ=          

    Подставляя выражение для λ в формулу (2), получим :

                               hl=                                       (4)

    Потери напора в местных сопротивлениях находим по формулам :

                               hw1=                                                        (5)

                               hw2=                                                     (6)

                               hw3=                                                      (7)

    Подставляя (4), (5), (6) и (7) в формулу (1), получим :

                           p=            (8)

    Вычисления по формуле (8) дают :

             p= 

             Па=123 кПа.

    Ответ : p=123 кПа        

 

 

 

 

                                                                            № 50.

    Определить длину трубы l, при которой расход жидкости из бака будет в два раза меньше, чем через отверстие того же диаметра d. Напор над отверстием равен H. Коэффициент гидравлического трения в трубе принять равным λ=0.025.

    Дано : H=5 м ; d=50 мм ; Q1=0.5Q2 ; λ=0.025.

    Найти : l.

                                                                    Решение.

    Составим уравнение Бернулли для двух сечений трубы 0-0 и 1-1 :

                             H=                                                   (1)

    где v1 – скорость в сечении 1-1 ; hλ – потери напора по длине тубы.

    Потери напора определяются по формуле Вейсбаха-Дарси :

                               hλ=              (2)

    где λ – коэффициент гидравлического трения ; Q1 расход в трубе.

    Подставляя (2) в (1) и, учитывая что скорость v1 связана с расходом Q1 выражением :

                               v1=, получим:

                               H=

    Отсюда находим длину трубы :

                          l=                                             (3)

    Расход через отверстие определяется выражением :

                               Q2=                                         (4)

    где μ=0.62 – коэффициент расхода (рекомендации стр. 109 [1]) ; S0 – площадь сечения отверстия (S0=πd2/4) ; H – напор, под которым происходит истечение (глубина погружения отверстия под уровень жидкости в баке).

    Учитывая, что по условию Q1=0.5Q2, то подставляя (4) в (3) и, учитывая выражение для S0, получим :

                             l=           (5)

    Вычисления по формуле (5) дают :

                              l= м

    Ответ : l=18.8 м

 

 

                                                                             № 58.

    Центробежный насос с известной характеристикой откатывает воду из сборного колодца в бассейн с постоянным уровнем H по трубопроводам l1, d1 и l2, d2. При работе насоса с постоянным числом оборотов n=1450 мин-1 определить глубину h, на которой установится уровень воды в колодце, если приток в него Q. При расчётах принять коэффициенты гидравлического трения λ1=0.03 и λ2=0.035 и суммарные коэффициенты местных сопротивлений ζ1=6 и ζ2=10.

    Дано : H=14 м ; l1=5 м ; d1=130 мм ; l2=11 м ; d2=80 мм ; Q=7 л/с.

    Найти : h

                                                                    Решение.

    Напор, развиваемый насосом, расходуется на подъём воды на геометрическую высоту Hг=H+h и преодоление потерь напора во всасывающей и нагнетательной линиях :

                            Hн=Hг+h1+h2=H+h+h1+h2

    Отсюда глубина, на котором установится уровень воды в колодце :

                              h=Hн-h1-h2                                                        (1)

    где Hн – напор, развиваемый насосом при заданном расходе Q (определяется по графику ; при Q=7 л/c, H=22 м) ; h1 и h2 – потери напора во всасывающей и нагнетательной линиях.

    Потери напора состоят из потерь напора по длине и в местных сопротивлениях :

                              h1=hℓ1+hм1    ;    h2=hℓ2+hм2                     

    Потери напора по длине определим по формуле Вейсбаха-Дарси :

                                   hℓ1=   ;   hℓ2=

    где λ – гидравлический коэффициент трения.

    Скорость движения  воды во всасывающей линии :

                                  v1= м/с

    Скорость движения жидкости в нагнетающей линии :

                                  v2= м/с.

    Потери напора по длине трубопровода для всасывающей линии :

                                  hℓ1= м.

    Потери напора по длине трубопровода для нагнетающей линии :

                                  hℓ2= м.

    Потери в местных сопротивлениях по формуле Вейсбаха :

    для всасывающей линии :

                                  hм1= м  ;

    для нагнетающей линии :

                                hм2= м.

    Общие потери во всасывающей линии :

                                h1=0.02+0.09=0.11 м.

    Общие потери в нагнетающей линии :

                                 h2=0.47+0.98=1.45 м.

    Тогда, искомая глубина, на которой установится уровень воды в колодце :

                                  h=22-0.11-1.45=20.44 м.

    Ответ : h=20.44 м.

 

 

 

 

                                                                             № 67.

    Вал гидродвигателя Д, рабочий объём которого V0, нагружен крутящим моментом Мк. К двигателю подводится поток рабочей жидкости – масло Ж, температура которого 60°С, с расходом Q. КПД гидродвигателя : объёмный η0=0.96, гидромеханический ηгм.

    Определить частоту вращения вала гидродвигателя и показание манометра М, установленного непосредственно перед двигателем, если потери давления в обратном клапане Коб составляют Δpкл=15 кПа. Длина линии равна lc, а диаметр dc. Эквивалентная шероховатость Δэ=0.05 мм.

    Дано : Ж – индустриальное 20 ; Q=28 л/мин ; V0=40 см3 ; Mk=25 Н·м ; ηгм=0.9 ; lc=2.8 м ; dc=14 мм.

    Найти : n, pм

                                                                        Решение.

    Частоту вращения гидродвигателя определим по формуле :

                         n=                                       (1)

    где η0 – объёмный к.п.д. гидродвигателя ; Q – расход рабочей жидкость ; V0 – рабочий объём гидродвигателя.

    Вычисления по формуле (1) дают :

                          n= об/мин.

    Определим показание манометра. Давление, создаваемое перед электродвигателем затрачивается на потери давления в гидродвигателе Δp, потери давления в обратном клапане Δpоб, потери давления в сливной линии Δpc :

                          pм=Δp+Δpоб+Δpc                         (2)

    Потери давления в гидродвигателе определим по формуле :

                          Δp=                                   (3)

    где Мк – крутящий момент на валу двигателя ; ηгм – к.п.д. гидродвигателя.

    Вычисления по формуле (3) дают :

                           Δp= Па=4361.1 кПа.

    Потери давления в сливной линии определим по формуле :

                          Δpc=ρghℓ                                       (4)

    где ρ – плотность рабочей жидкости ; hℓ - потери напора в сливной линии.

    Определим плотность рабочей жидкости (масло индустриальное 20) при температуре t=60° по формуле :

                        ρ=                                       (5)

    где ρ0=891 кг/м3 (табл. 1 [2]) – плотность рабочей жидкости при t0=50° ; α=0.0007 1/°C (табл. 1 [2]) – температурный коэффициент расширения жидкости ; Δt=t-t0=60-50=10° - изменение температуры.

    Тогда вычисления по формуле (5) дают :

                          ρ= кг/м3

    Потери  напора в силовой линии по формуле Вейсбаха-Дарси :

                           hℓ=                      (6)

    С учётом (6) формула (4) примет вид :

                            Δp=                (7)

    где λ – коэффициент гидравлического трения.

    Коэффициент гидравлического трения λ определим по формуле Альтшуля :

                              λ=                              (8)

    где Δ – эквивалентная шероховатость ; Re – число Рейнольдса.

   Число Рейнольдса определим по формуле :

                                Re=                                            (9)

    где ν=0.14×10-4 м2/с – кинематическая вязкость при t=60° (табл. 1 [2]).

    Вычисления по формуле (9) дают :

                                 Re= 

    Тогда вычисления по формуле (8) дают :

                                 λ=

    Вычисления по формуле (7) дают :

                        Δpc= Па=356 кПа

    Окончательно, производя вычисления по формуле (2), найдём показания манометра :

                         pм=356+15+4361=4732 кПа

    Ответ : n=672 об/мин ; pм=4732 кПа.