Примеры решенных задач по физике - контрольная 3(молекулярная физика)

Вариант 2

1. Имеется идеальный газ, молярная теплоемкость которого известна. Газ совершает процесс по закону , где . Найти: а) молярную теплоемкость газа как функцию его температуры ; б) сообщенное газу тепло при его расширении от до .

Решение:

а)

Молярная теплоемкость газа:

По первому началу термодинамики

Внутренняя энергия газа:

Тогда изменение внутренней энергии газа:

Кроме того,

Поскольку, по условию,

то,

Согласно уравнению Менделеева – Клапейрона

С учетом того, что по условию , имеем

Тогда

Следовательно,

б)

выше получено соотношение =>

Тогда

Поскольку , то

Тогда при расширении газа сообщенное ему количество теплоты:

2. Двухатомный идеальный газ занимает объем л и находится под давлением МПа. После адиабатного сжатия газ характеризуется объемом и давлением . В результате последующего изохорного процесса газ охлаждается до первоначальной температуры , а его давление МПа. Определите: а) определите объем и давление газа в состоянии 2; б) работу газа, изменение его внутренней энергии и количество теплоты, полученное газом в процессе .

Решение:

а) Уравнение адиабаты:

       (1)

Постоянная адиабаты , для двухатомного газа число степеней свободы i=5 (если молекулу считать жесткой, что справедливо при не высоких температурах), тогда .

 

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона можем записать:

       (2)

Здесь мы учли, что

Из уравнений (2) получаем:

       (3)

Из (1) и (3) получаем:

       (4)

б)

Работа газа:

- в общем случае.

В адиабатическом процессе

     (5)

При изохорном процессе изменение объема равно 0, поэтому работа также равна нулю: . Таким образом, из (5) и (2) имеем:

С учетом (3-4):

      (6)

Внутренняя энергия газа:

Тогда изменение внутренней энергии газа в результате всего процесса:

По условию, , поэтому внутренняя энергия газа в процессе 1-2-3 не изменится:

       (7)

Количество теплоты, полученное в процессе 1-2, равно 0, поскольку процесс адиабатический: .

Количество теплоты, полученное в процессе 2-3

(с учетом )=(с учетом (3-4))=

В итоге

     (8)

Видно, что правая часть (8) совпадает с (6), т.е. в рассматриваемом процессе А=Q.

Произведем расчет согласно формулам (3-4), (6-8):

0,5 л

0,26 МПа

Дж

‑79.9 Дж

3. Азот массой г, находящийся под давлением МПа при температуре , изотермически расширяется, в результате чего давление газа уменьшилось в раза. После этого газ адиабатно сжимают до начального давления, а затем изобарно сжимают до начального объема. Постройте график цикла и определите работу, совершенную газом за цикл, и холодильный коэффициент.

 

Работа газа:

    (1)

В изотермическом процессе:

   (2)

Здесь n=3, согласно условию.

Согласно уравнению Менделеева - Клапейрона можем записать:

    (3)

Здесь мы учли, что

Уравнение адиабаты:

    (4)

 

Учитывая , из (4) имеем:

   (5)

Из (5) получаем:

     (6)

Постоянная адиабаты , для двухатомного газа (в т.ч. азота) число степеней свободы i=5 (если молекулу считать жесткой, что справедливо при не высоких температурах), тогда .

 

В адиабатическом процессе:

=(с учетом (6), а также )

   (7)

В изобарном процессе работа:

=(с учетом (6))=

    (8)

Тогда из (1), (2), (7), (8):

 

  (9)

Холодильный коэффициент равен отношению количества теплоты, которая передается газу за цикл, к работе внешних сил, совершенной за цикл.

Работа внешних сил равна работе газа с обратным знаком: ‑A.

Найдем количество теплоты, переданное газу. В данном цикле теплота передается газу на этапе изотермического расширения (в адиабатическом процессе теплота не передается и не отнимается, на этапе изобарного сжатия теплота отбирается от газа).

По первому началу термодинамики

В изотермическом процессе =0, работа газа найдена выше

Следовательно,

Тогда холодильный коэффициент

   (10)

Произведем расчет по (9-10):

‑11395 Дж

5,7

4. Найти приращение энтропии алюминиевого бруска массы кг при нагревании его от К до К, если в этом интервале температур удельная теплоемкость алюминия , где кДж/(кг∙К), Дж/(кг∙К2).

 

Приращение энтропии:

Тогда при изменении температуры от Т1 до Т2:

Для изменения температуры бруска на dT ему следует сообщить количество теплоты, равное

Тогда

Произведем расчет:

415,6 Дж/К ≈ 4,2*10‑2 Дж/К

 

 

 

 

 

 

5. Термодинамический потенциал одного моля некоторого вещества дается выражением , где − некоторая константа. Найти: а) теплоемкость этого вещества; б) явный вид термодинамического потенциала внутренняя энергия .

a) Учтем известные из термодинамики соотношения

Тогда

Теплоемкость:

б) Связь потенциала Гиббса G и внутренней энергии:

с учетом условия задачи:

Из выражения для S имеем:

Получаем для внутренней энергии

Из выражения для V имеем:

(отметим, что выражение совпадает с уравнением Менделеева-Клапейрона для 1 моля идеального газа).

Тогда

или - известные выражения для внутренней энергии идеального газа.

 

6. На какой высоте плотность воздуха составляет 60% от плотности воздуха на уровне моря? Считать, что температура воздуха не зависит от высоты и равна .

Барометрическая формула для плотности воздуха:

 

Отсюда для получаем

Учитывая, что молярная масса воздуха М=0,029 кг/моль, получаем

= 4227 м ≈ 4,2*103 м

 

 

 

7. Коэффициент диффузии кислорода при и кПа равен м2/с. Оценить среднюю длину свободного пробега молекул кислорода при тех же условиях.

 

 

Коэффициент диффузии:

Здесь - среднеквадратичная скорость молекул,  - средняя длина свободного пробега молекул.

Среднеквадратичная скорость

Здесь d – диаметр молекулы, n – концентрация молекул.

Тогда

 

Поскольку давление газа

То

 

Произведем расчет

 

 

 

 

 

8. Для определения постоянных Ван-дер-Ваальса некоторое количество газа, занимающего при К и Па объем л, было изотермически сжато до объема л, в результате чего давление возросло до значения Па. Затем газ был охлажден при неизменном объеме до температуры К, и давление при этом уменьшилось до значения Па. Воспользовавшись этими данными, вычислить постоянные и для данного газа.

 

Уравнение газа Ван-дер-Ваальса:

Получаем:

     (1)

     (2)

     (3)

 

Решение этих уравнений в общем виде весьма громоздко. Для упрощения решения подставим численные значения. Получаем:

  (4)

  (5)

  (6)

Раскрывая скобки, получим:

  (7)

  (8)

  (9)

Вычитая из первого полученного уравнения (7) второе (8), получаем:

  (10)

Вычитая из уравнения (8) уравнение (9), получаем:

   (11)

Из (11) получаем:

    (12)

Подставляя (12) в (11), получаем:

  (13)

Выразим а из (13):

  (14)

Подставим формулы для ν (12) и для а (14) в (7):

+

+

+ =   (15)

Домножая на (1+10000b), получим:

Приводя подобные слагаемые, получаем:

Отсюда

Окончательно

    (16)

Подставляя (16) в (14), получаем:

0,149

В итоге имеем:

а≈0,149 м3·Па/моль2

b≈3,32•10‑5 м3/моль