Примеры решенных задач по физике - контрольная 13

4 вариант

2.3.Материальная точка массой m=1,4 кг совершает гармонические колебания. В некоторый момент времени t =3,2 с полная энергия Е=0,4Дж, смещение точки в этот момент равно х=0,1 м. Период колебаний Т=1с. Написать уравнение этих колебаний.

Дано:

m=1,4 кг

t =3,2 с

Е=0,4Дж

х=0,1 м

Т=1с

x(t) - ?

Решение:

Запишем уравнение гармонического колебания: , (1) где А – амплитуда колебаний, - собственная частота колебаний, φ₀ – начальная фаза колебаний.

Тогда уравнения скорости и ускорения колеблющейся точки будут иметь следующий вид:

Полная энергия колебания складывается из кинетической и потенциальной энергии и равна максимальной кинетической или максимальной потенциальной энергии: .

Из этого выражения найдем амплитуду колебания:

Из уравнения (1) можно определить начальную фазу колебаний:

Тогда уравнение колебаний материальной точки будет иметь вид:

Ответ:

3.3.В сосуде объемом V, находится газ при температуре Т=20⁰ С и давлении Р=0,2 МПа. Плотность газа ρ=0,33 кг/м³.Определить число молекул этого газа и что это за газ.

Дано:

Т=20⁰ С=293 К

Р=0,2 МПа=2·10⁵ Па

ρ=0,33 кг/м³

µ- ? N- ?

Решение:

Запишем уравнение Менделеева-Клайперона

, где R=8,31Дж/моль·К – газовая постоянная.

преобразуем его к виду

отсюда выразим молярную массу газа

Молярную массу 4 г/моль имеет гелий.

Основное уравнение состояния газа имеет вид: ,

где k=1,38·10^-23 Дж/К – постоянная Больцмана, - концентрация газа.

Тогда

Отсюда в 1 м³ газа будет

молекул.

Ответ: гелий; N=4,95·10²⁵ молекул.

4.3.Определить внутреннюю энергию смеси газов, содержащей υ₁=0,5 молей одноатомного газа, N₂=2·10²³ молекул двухатомного газа и N₃=4·10²³ молекул трехатомного газа. Найдите также энергию вращательного движения всех молекул газа, если энергия двухатомного газа равна ε₂=6·10^-21Дж.

Дано:

υ₁=0,5 моль

i₁=3

N₂=2·10²³

i₂=5

N₃=4·10²³

i₃=6

ε₂=6·10^-21Дж

ε₁ - ? ε₃ -? U_см - ?

Решение:

Полная кинетическая энергия движения одной молекулы газа вычисляется по формуле (1)

где k=1,38·10^-23Дж/К – постоянная Больцмана; T - термодинамическая температура; где i = 5 – число степеней свободы для двух атомного газа.

Поступательному движению приписывается три (i = 3), а вращательному две (i= 2) степени свободы. Тогда энергия одной молекулы:

Из (1) найдем температуру газов:

Внутренняя энергия по определению равна:

, где R=8,31Дж/моль·К – газовая постоянная

Вычислим количество вещества 2 и 3 газов по формуле:

;

где N_A=6,02·10²³ моль^-1 – постоянная Авогадро

Тогда внутренняя энергия смеси газов будет равна:

Энергия вращательного движения первого газа, газ одноатомный i=3, поэтому

Энергия вращательного движения третьего газа, газ трехатомный i=6, поэтому

Ответ: U_см=12,85 к Дж; ε₁=0; ε₃=9·10^-21Дж .

5.3.При изменении состояния газа от Р₁=0,3 МПа, V₁=3л до давления Р₂=0,15 МПа и объема V₂ при изотермическом процессе. Определить работу газа и его конечный объем.

Дано:

Р₁=0,3 МПа=3·10⁵ Па

V₁=3л=3·10^-3 м³

Р₂=0,15 МПа=1,5·10⁵ Па

T=const

V₂ - ? А - ?

Решение:

При изотермическом процессе T=const, для определения конечного объема воспользуемся законом Бойля-Мариотта:

Работа в термодинамике по определению равна

Выразим давление газа из уравнения Менделеева- Клайперона

и подставим в формулу работы, получим

Или с учетом уравнения Менделеева- Клайперона, получим

Т.к. процесс изотермический, то по закону Бойля Мариотта

Тогда

Ответ: V₂ =6 л; А=624 Дж.

6.3.Пластина, изображенная нарисунке, может вращаться вокруг оси ОО^/, проходящей на расстоянии r от левого края пластиы. Вычислить момент инерции пластины относительно этой оси, «разделив» пластину на 10 одинаковых частей одинаковой ширины. Каждую часть принять за материальную точку. Общая ширина пластины 2 м. Поверхностная плотность пластины 2 кг/м². Размеры пластины: а₁=0,2 м; h₁=0,3 м; h₂=0,5 м. На расстояниях х₂=0,6 м и х₃=0,8 м от левого края пластины, перпендикулярно к ней приложена сила F₃= - 2 Н.Положительное направление сил от нас. Найти угловое ускорение пластины.

Дано:

ℓ=2 м

σ=2 кг/м²

а₁=0,2 м

h₁=0,3 м

h₂=0,5 м

х₂=0,6 м

х₃=0,8 м

F₃= - 2 Н

J - ? ε - ?

Решение:

$C:\Users\1\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\IMG_20191219_0001.jpg$

Перерисуем чертеж с учетом указанных в условии размеров и разобьем на 10 частей одинаковой ширины, обозначим точки приложения сил. Знак силы F₃ отрицательный, поэтому она направлена к нам.

Очевидно, ширина каждой части d = 2/10 = 0,2 м. Масса каждой части равна её площади, умноженной на поверхностную плотность, а площадь, в свою очередь, равна ширине умноженной на высоту:

Заменим каждую часть материальной точкой, лежащей в центре этой части.

Рассчитаем массы и расстояния до них:

Расстояния до масс равны расстояниям от оси до середин соответствующих

частей.

Занесем это все в таблицу:

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
m_i	0,12	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2
r_i	0,1	0,3	0,5	0,7	0,9	1,1	1,3	1,5	1,7	1,9

По определению момент инерции равен сумме произведений масс всех частей системы на квадраты расстояний от них до оси вращения:

Согласно основному закону динамики вращательного движения, полный момент сил действующий на систему равен произведению момента инерции системы на угловое ускорение:

, отсюда

По определению, момент силы равен произведению силы на её плечо:

Отсюда угловое ускорение:

Знак минус указывает, что вектор углового ускорения направлен вниз.

Ответ: J =2,66 кг·м²; ε=-0,45 м/с²

9.3.На вал радиусом R=0,2 м намотан шнур с грузом массы m=3 кг. Груз падает с высоты h c ускорением а и достигает скорости v. Момент трения в подшипниках вала М_тр=0,2 Н·м, натяжение шнура F_н. Момент инерции вала J=0,07 кг·м². Найти ускорение груза.

Дано:

m=3 кг

R=0,2 м

М_тр=0,2 Н·м

J=0,07 кг·м²

а - ?

Решение:

Линейное ускорение а груза равно тангенциальному ускорению точек вала, лежащих на его поверхности,

и связано с угловым ускорением вала соотношением:

, (1)

Вращающий момент вала выражается основным уравнением динамики вращающегося тела:

, (2)

где М — вращающий момент, действующий на вал; J — момент инерции вала.

Присутствие М_тр влияет на ускорение тела и это надо учитывать. Считая момент силы трения не зависящим от скорости вращения, можно записать

Вращающий момент М, действующий на вал, равен произведению силы натяжения шнура F_н на радиус вала: М= F_н R.

Силу натяжения шнура найдем из следующих соображений. На гирю действуют две силы: сила тяжести , направленная вниз, и сила натяжения F_н шнура, направленная вверх. Равнодействующая этих сил вызывает равноускоренное движение гири.

По второму закону Ньютона, проекция этих сил на ось ох:

mg – F_н =ma, откуда F_н =m(g – а).

Таким образом, вращающий момент M=m(g—а)R. (3)

Подставим в это выражение (1),(2) и (3) получим

Ответ: а=8,7 м/с².

10.3.На краю платформы, диск массой m₁ и радиусом R=3 м, стоит человек массой m₂. Платформа вращается с угловой скоростью ω₁=4 об/мин. Когда человек переходит ближе, на расстояние r= 1,5 м от центра, она начинает вращаться с угловой скоростью ω₂=8 об/мин. Момент иннерции платформы J=250 кг·м². Человека можно принять за материальную точку. Найти массу человека.

Дано:

R=3 м

ω₁=4 об/мин=2/15 об/с

r= 1,5 м

ω₂=8 об/мин=4/15 об/с

J=250 кг·м²

m₂- ?

Решение:

Воспользуемся законом сохранения момента импульса:

Где - момент инерции сплошного диска радиусом R и массой М,

ω₁ – начальная частота вращения человека с диском, находящихся на краю платформы.

ω₂ – частота вращения, после перехода человека ближе к центру. Момент инерции человека , т.к. он стоял на расстоянии R от оси вращения и по условию его можно считать материальной точкой.

- момент инерции человека, перешедшего ближе к центру на расстояние r = R/2 (см рис).

Тогда

откуда искомая величина равна

Ответ: m₂=55,56 кг.