Примеры решения задач по общей теории статистики - контрольная работа 6

Задача 1.

Известны результаты обследования группы водителей автобусов за месяц

Табельный номер	Класс водителя	Процент выполнения нормы  выработки	Месячная зарплата, руб.	Табельный номер	Класс водителя	Процент выполнения нормы  выработки	Месячная зарплата, руб.
1	I	105,2	280,8	13	II	104,8	160,8
2	II	102,3	180,3	14	II	110,5	190,0
3	I	106,8	207,0	15	III	109,7	181,0
4	III	100,0	150,0	16	I	108,3	235,0
5	II	113,5	210,5	17	III	112,0	175,0
6	I	100,7	210,4	18	II	100,8	165,0
7	III	110,2	180,0	19	III	100,0	148,0
8	III	117,2	210,0	20	I	112,0	230,0
9	II	119,7	230,2	21	II	114,1	200,0
10	III	115,0	200,0	22	III	106,3	179,0
11	I	115,2	240,9	23	II	107,8	170,0
12	III	104,2	162,0	24	I	104,8	218,7

 

Построить комбинационную таблицу, отражающую зависимость заработной платы водителей автобусов от их квалификации и процента выполнения норм выработки.

 

Решение.

Произведем группировку водителей по величине заработной платы.

Таблица 3.1.

№ водителя	Месячная зарплата, руб.	Процент выполнения нормы  выработки	Класс водителя	Месячная зарплата, руб.	Процент выполнения нормы  выработки	Класс водителя
	Х1	Х2	Х3	Х1	Х2	Х3
19	148	100	3
4	150	100	3
13	160,8	104,8	2
12	162	104,2	3
18	165	100,8	2
23	170	107,8	2	955,8	617,6	15
17	175	112	3
22	179	106,3	3
7	180	110,2	3
2	180,3	102,3	2
15	181	109,7	3
14	190	110,5	2	1085,3	651	16
	Х1	Х2	Х3	Х1	Х2	Х3
10	200	115	3
21	200	114,1	2
3	207	106,8	1
8	210	117,2	3
6	210,4	100,7	1
5	210,5	113,5	2	1237,9	667,3	12
24	218,7	104,8	1
20	230	112	1
9	230,2	119,7	2	678,9	336,5	4
16	235	108,3	1
11	240,9	115,2	1	475,9	223,5	2
1	280,8	105,2	1	280,8	105,2	1
Итого	4714,6	2601,1	50	4714,6	2601,1	50

Определим число групп по формуле:

m = 1 + 3,322 ∙ lgn,

где m – число интервалов, n – число данных или опытов.

m = 1 + 3,322 ∙ lg27  6.

     Определим размах вариации: R = Ymax – Ymin = 280,8 – 148 = 132,8.

     Величина интервала: i = R/m = 132,8/6 = 21,133.

Обозначим границы групп:

      Отбираем показатели, характеристики группы и определяем их величины по каждой группе. Промежуточные расчеты представлены в таблице 3.1.

Результаты группировки представим в виде таблице 3.2.

Число водителей	Месячная заработная плата, руб.		Процент выполнения норм выработки		Класс водителя
	всего	в среднем	всего	в среднем	всего	в среднем
6	955,8	159,3	617,6	102,933	15	2,5
6	1085,3	180,883	651	108,5	16	2,66667
6	1237,9	206,317	667,3	111,217	12	2
3	678,9	226,3	336,5	112,167	4	1,33333
2	475,9	237,95	223,5	111,75	2	1
1	280,8	280,8	105,2	105,2	1	1
24	4714,6		2601,1		50
		196,44167		108,37917		2,0833333

Анализируя полученные результаты, можем отметить, что с заработная плата водителя зависит от квалификации и процента выполнения норм выработки. Чем выше квалификация водителя, тем выше заработная плата.

 

Задача 2.

Производство автомобилей всех видов увеличилось в 2000 г. по сравнению с 1990 г. в 2,4 раза, а грузовых − на 50 %. Определите долю грузовых автомобилей в 1990 г., если известно, что в 2000 г. она составила 5 %.

Решение.

Определим индекс доли грузовых автомобилей:

Id = Ix/Is = 1,5/2,4 = 0,625 или 62,5%,

Где Ix – индекс числа грузовых автомобилей, Is -  индекс общего числа автомобилей.

Тогда доля грузовых автомобилей в 2000 году:

d1 = d0·Id = 0,05·0,625 = 0,03125 0,031 или 3,1%,

где d0 – доля грузовых автомобилей в 1990 году.

В 2000 году доля грузовых автомобилей в общей численности автомобилей составила 3,1%.

 

 

 

Задача 3.

По четырем заводам, производящим продукцию А, имеются следующие данные.

Номер завода	Затраты времени на единицу продукции, мин.	Производство продукции, шт.
1	40	1200
2	42	1000
3	50	800
4	38	200

Определите среднее значение затрат времени на изготовление единицы продукции по четырем заводам, размах, среднелинейное и среднеквадратическое отклонение.

Решение.

  Для удобства дальнейших вычислений составляем таблицу.

 

Затраты времени на единицу продукции, мин Xi	fi	Xifi	X2ifi
40	1200	48000	1920000	3,00	3600,00
42	1000	42000	1764000	1,00	1000,00
50	800	40000	2000000	7,00	5600,00
38	200	7600	288800	5,00	1000,00
Итого	3200	137600	5972800		11200,00

Среднее значение затрат времени на изготовление единицы продукции по четырем заводам определим по формуле  средней арифметической взвешенной.

137600/3200 = 43 минуты.

К абсолютным показателям вариации относятся дисперсия и среднее квадратическое

отклонение, среднее линейное отклонение.

 

Найдем дисперсию по следующей формуле:

.

 Среднее квадратическое отклонение находим формуле:

.

Размах вариации:

R = Xmax – Xmin = 50 – 38 = 12 минут.

Среднее линейное отклонение:

 

= 5972800/3200 = 1866,5 мин.2

1866,5 – 432 = 15,5 мин.2

 = 4,183 мин.

Разброс наблюдений относительно средней величины составляет 4,183 минуты.

   Среднее линейное отклонение:

d= 11200/3200 = 3,5 минуты.

 

 

 

Задача 4.

В результате 10% случайной бесповторной выборки рабочих завода получены следующие данные о распределении их по проценту выполнения норм выработки:

Группы рабочих по % выработки	До 100	100-110	110-120	120-130	130 и выше
Число рабочих	10	18	32	20	10

С вероятностью 0,954 определите предельную ошибку выборочной доли для рабочих, у которых норма выработки не превышает 110%.

Решение.

Вычислим предельную ошибку выборочной доли рабочих, у которых норма выработки не превышает 110% по формуле:

, n – объем выборочной совокупности, N – объем генеральной совокупности, t – коэффициент доверия.

Найдем выборочную долю:

W = (10 + 18)/(10+18+32+20+10) = 28/90 = 0,3111.

Дисперсия выборочной доли:

= 0,3111·(1 – 0,3111) = 0,2143.

По условию Ф(t) = 0,954. По таблице функции Ф(t) находим t = 2.

= 0,0926 или 9,26%.

Предельная ошибка выборочной доли рабочих, у которых норма выработки не превышает 110% составляет 9,26%.

 

 

 Задача 5.

Приведите уровни следующего ряда динамики, характеризующего численность рабочих предприятия, к сопоставимому виду (чел.):

Показатель	1987	1988	1989	1990	1991	1992	1993	1994	1995
Численность рабочих на 1 января	420	429	437	431	-	-	-	-	-
Среднегодовая численность рабочих	-	-	-	435	442	450	460	465	475

Решение.

Найдем соотношение между показателями, исчисленными по новой и старой методике за 1990 год:

435/431 = 1,009.

Умножаем уровни за 1987, 1988 и 1989 на 1,009.

420·1,009 = 423,8 чел.; 429·1,009 = 432,9 чел.; 437·1,009 = 440,9 чел.

Результаты заносим в таблицу 5.1.

Таблица 5.1.

Показатель	1987	1988	1989	1990	1991	1992	1993	1994	1995
Численность рабочих, чел.	423,8	432,9	440,9	435	442	450	460	465	475

 

 

 

 

Задача 6.

Имеются следующие данные:

Товар	Отчетный период		Базисный период		Индивидуальные индексы, %
	Цена за 1 кг, тыс. руб.	Количество, ц	Цена за 1 кг, тыс. руб.	Количество, ц	цен	физического объема реализации
1	15,1	…	14,7	270,8	…	112,5
2	7,2	…	8,3	131,6	…	105,7
3	…	314,6	13,7	…	96,8	125,9

 

Определите:

а) недостающие показатели в таблице;

б) сводные индексы цен, физического объема реализации и стоимости товарооборота.

Решение.

 

А) Найдем количество товара 1 за отчетный период:

q1 = q0·iq = 270,8·1,125 = 304,65 ц.

Индивидуальный индекс цен на товар 1:

ip  = p1/p0 = 15,1/14,7 = 1,027.

Найдем количество товара 2 за отчетный период:

q1 = q0·iq = 131,6·1,057 = 139,1 ц.

Индивидуальный индекс цен на товар 1:

ip  = p1/p0 = 7,2/8,3 = 0,867.

Определим цену на товар 3 за отчетный период:

р1 = p0·ip = 13,7·0,968 = 13,262 тыс. р./кг.

Определим количество товара 3 за базисный период:

q0 = q1/iq = 314,6/1,259 = 249,881 ц.

Полученные данные заносим в таблицу 6.1.

 

Таблица 6.1.

Товар	Отчетный период		Базисный период		Индивидуальные индексы, %
	Цена за 1 кг, тыс. руб.	Количество, ц	Цена за 1 кг, тыс. руб.	Количество, ц	цен	физического объема реализации
1	15,1	304,65	14,7	270,8	102,7	112,5
2	7,2	139,1	8,3	131,6	86,7	105,7
3	13,262	314,6	13,7	249,88	96,8	125,9

Б) Рассчитаем общий индекс товарооборота по формуле:

,

где q – количество единиц данного вида реализованной продукции; p – цена единицы изделия.

Подстрочный значок 0 означает базисный, а 1 – отчетный периоды.

Подставив в формулу данные в условии задачи значения, получим:

или 115%

Рассчитаем общий индекс цен по формуле:

где q – количество единиц данного вида реализованной продукции; p – цена единицы изделия.

Подстрочный значок 0 означает базисный, а 1 – отчетный периоды.

или 98,3%

Найдем общий индекс физического объема товарооборота по формуле:

где q – количество единиц данного вида реализованной продукции; p – цена единицы изделия.

Подстрочный значок 0 означает базисный, а 1 – отчетный периоды.

  или 117%

В отчетном периоде по сравнению с базисным периодом товарооборот по группе товаров возрос на 15%, в том числе физический объем товарооборота возрос на 17%, а цены по группе товаров снизились на 1,7%.

 

 

 Задача 7.

По предприятию за I квартал имеются следующие данные.

Показатель	План	Отчет
Выпуск валовой продукции, тыс. руб.	1800	2016
Средняя списочная численность работников	1200	1300

Определить абсолютное изменение объема валовой продукции предприятия в отчетном периоде по сравнению с планом общее, а также за счет изменения квартальной производительности труда и численности работников, используя метод факторного анализа.

Решение.

Определим производительность труда за каждый период как отношения валового выпуска продукции к среднесписочной численности работников.

За базисный период:

W0 = ВВП0/Т0 = 1800/1200 = 1,5 тыс. р./чел.

За отчетный период:

W1 = ВВП1/Т1 = 2016/1300 = 1,551 тыс. р./чел.

Индекс численности работников , занятых в народном хозяйстве : IT = Т1/Т0 = 1300/1200 = 1,08333.   

Индекс производительности труда: IW = 1,551/1,5 = 1,034.

       Найдем абсолютный прирост ВВП:

       ВВП = ВВП1 – ВВП0 = 2016 – 1800 = 216 тыс. р.

В том числе за счет изменения:

а)   численности работников

ВВП (Т) = ВВП0 · ( IT – 1) = 1800 · ( 1,08333 – 1 ) = 150 тыс. р..

б) производительности труда

ВВП (W) = ВВП0 · IT · ( IW – 1) = 1800 ·1,083333 · ( 1,034 – 1 ) = 66 тыс. р.

    В отчетном  периоде по сравнению с базисным произошло увеличение валового выпуска продукции на 216 тыс. р. Это увеличение обусловлено приростом за счет изменения численности работников на 150 тыс. р. и повышением за счет изменения производительности труда на 66 тыс. р.