Пример решения задачи - выпуклое программирование.

Предприятие выпускает изделия А и Б, при изготовлении которых используется сырье С1 и С2. Известны запасы bi (i = 1,2) сырья, нормы aij (j = 1,2) его расхода на единицу изделия, оптовые цены рj на изделия и их плановая себестоимость сj0. Как только объем выпускаемой продукции перестанет соответствовать оптимальным размерам предприятия, дальнейшее увеличение выпуска хj ведет к повышению себестоимости продукции и в первом приближении фактическая себестоимость сj описывается функцией сj = сj0 + сj′хj, где сj′ -- некоторая постоянная величина. При поиске плана выпуска изделий, обеспечивающего предприятию наивысшую прибыль в условиях нарушения баланса между объемом выпуска и оптимальными размерами предприятия, целевая функция принимает вид   f = (p1 – (c10 + c1′x1)) x1 + +.(p2 – (c20 + c2′x2)) x2, а ограничения по сырью а11х1 + а12х2 ≤ b1,  а21х1 + а22х2 ≤ b2,   х1 ≥ 0,  х2 ≥ 0.

Требуется:

составить экономико-математическую модель задачи применительно к числовым данным выполняемого варианта;

графическим методом решить полученную задачу и сформулировать ответ в экономических терминах в соответствии с условиями задачи.

Решение.

Целевая функция данной задачи имеет следующий вид:

f (X1, X2) = ( 8- ( 6 + 0,1X1)) X1+ ( 7- ( 4 + 0,1X2)) X2

Упростив ее, получим искомую математическую модель с учетом ограничений на запасы сырья:

f =  2X1 -  0,1X12 +  3X2 – 0,1 X22           max   

   5Х1 +   2Х2 ≤ 30  

   8Х1 + 11Х2 ≤ 60

   Х1  ≥0,  Х2  ≥0.

Целевая функция определяет в трехмерном пространстве параболоид вращения. В пересечении этого параболоида с плоскостями, параллельными координатной плоскости X1OX2, будут окружности с центрами на оси параболоида. Каждой такой окружности отвечает определенное значение функции f. Поэтому линиями уровня функции f будут концентрические окружности с общим центром в точке Р, являющейся проекцией оси параболоида на плоскость X1OX2. Чтобы найти координаты точки Р и радиусы этих окружностей, преоб­разуем целевую функцию f, выделив в ней полные квадраты относительно переменных Х1 и Х2:

-10∙f = X12 – 20X1 + X22 – 30X2

-10∙f = X12 – 20X1 + 100 + X22 – 30X2 + 225 - 325

325 - 10∙f = (X1 –  10)2 + (X2 – 15)2

Итак, координаты точки Р равны (10,  15 ), а радиусы г окружностей вычисляются по формуле:    r = 325 - 10∙f

Множество планов X данной задачи определяет на координатной плоскости X1OX2 многоугольник ОАВС, изображенный на рис. 5.1. На этом же рисунке изображены линии уровня.

     Как видно из рис. 5.1, координаты точки М* из области ОABC, через которую проходит линия уровня, отвечающая максимальному значению функции f, находятся из системы уравнений

8Х1 + 11Х2  = 60  

(Х2 - 15 ) = 11/8 (Х1 - 10 )

 

      где уравнение 8Х1 + 11Х2  = 60 задает граничную прямую, а уравнение (Х2 - 15 ) = 11/8 (Х1 - 10 )  задает прямую

РМ проходящую через точку М перпендикулярно прямой (угловой коэффициент этой прямой равен  -1/k, где k- угловой коэффициент граничной прямой, равный  11/8). Решим данную систему:

8Х1 + 11Х2  = 60                                                  X1 = 2

(Х2 - 15 ) = 11/8 (Х1 - 10 )                                   X2 = 4

 

из решения М=(2,4), значение целевой функции f(М)=2∙2 – 0,1∙22 + 4∙3 – 0,1∙42 = 14     в этой точке. Итак, для получения предприятием максимальной прибыли, составляющей   14      ден. ед., следует выпустить  2 ед.  изделий первого вида и 4 ед. изделия второго вида.

Рисунок 5.1.