Пример решения задачи - выпуклое программирование.
Ниже приведено условие и решение задачи. Закачка решения в формате doc начнется автоматически через 10 секунд.
Предприятие выпускает изделия А и Б, при изготовлении которых используется сырье С1 и С2. Известны запасы bi (i = 1,2) сырья, нормы aij (j = 1,2) его расхода на единицу изделия, оптовые цены рj на изделия и их плановая себестоимость сj0. Как только объем выпускаемой продукции перестанет соответствовать оптимальным размерам предприятия, дальнейшее увеличение выпуска хj ведет к повышению себестоимости продукции и в первом приближении фактическая себестоимость сj описывается функцией сj = сj0 + сj′хj, где сj′ -- некоторая постоянная величина. При поиске плана выпуска изделий, обеспечивающего предприятию наивысшую прибыль в условиях нарушения баланса между объемом выпуска и оптимальными размерами предприятия, целевая функция принимает вид f = (p1 – (c10 + c1′x1)) x1 + +.(p2 – (c20 + c2′x2)) x2, а ограничения по сырью а11х1 + а12х2 ≤ b1, а21х1 + а22х2 ≤ b2, х1 ≥ 0, х2 ≥ 0.
Требуется:
составить экономико-математическую модель задачи применительно к числовым данным выполняемого варианта;
графическим методом решить полученную задачу и сформулировать ответ в экономических терминах в соответствии с условиями задачи.
Решение.
Целевая функция данной задачи имеет следующий вид:
f (X1, X2) = ( 8- ( 6 + 0,1X1)) X1+ ( 7- ( 4 + 0,1X2)) X2
Упростив ее, получим искомую математическую модель с учетом ограничений на запасы сырья:
f = 2X1 - 0,1X12 + 3X2 – 0,1 X22 max
5Х1 + 2Х2 ≤ 30
8Х1 + 11Х2 ≤ 60
Х1 ≥0, Х2 ≥0.
Целевая функция определяет в трехмерном пространстве параболоид вращения. В пересечении этого параболоида с плоскостями, параллельными координатной плоскости X1OX2, будут окружности с центрами на оси параболоида. Каждой такой окружности отвечает определенное значение функции f. Поэтому линиями уровня функции f будут концентрические окружности с общим центром в точке Р, являющейся проекцией оси параболоида на плоскость X1OX2. Чтобы найти координаты точки Р и радиусы этих окружностей, преобразуем целевую функцию f, выделив в ней полные квадраты относительно переменных Х1 и Х2:
-10∙f = X12 – 20X1 + X22 – 30X2
-10∙f = X12 – 20X1 + 100 + X22 – 30X2 + 225 - 325
325 - 10∙f = (X1 – 10)2 + (X2 – 15)2
Итак, координаты точки Р равны (10, 15 ), а радиусы г окружностей вычисляются по формуле: r = 325 - 10∙f
Множество планов X данной задачи определяет на координатной плоскости X1OX2 многоугольник ОАВС, изображенный на рис. 5.1. На этом же рисунке изображены линии уровня.
Как видно из рис. 5.1, координаты точки М* из области ОABC, через которую проходит линия уровня, отвечающая максимальному значению функции f, находятся из системы уравнений
8Х1 + 11Х2 = 60
(Х2 - 15 ) = 11/8 (Х1 - 10 )
где уравнение 8Х1 + 11Х2 = 60 задает граничную прямую, а уравнение (Х2 - 15 ) = 11/8 (Х1 - 10 ) задает прямую
РМ проходящую через точку М перпендикулярно прямой (угловой коэффициент этой прямой равен -1/k, где k- угловой коэффициент граничной прямой, равный 11/8). Решим данную систему:
8Х1 + 11Х2 = 60 X1 = 2
(Х2 - 15 ) = 11/8 (Х1 - 10 ) X2 = 4
из решения М=(2,4), значение целевой функции f(М)=2∙2 – 0,1∙22 + 4∙3 – 0,1∙42 = 14 в этой точке. Итак, для получения предприятием максимальной прибыли, составляющей 14 ден. ед., следует выпустить 2 ед. изделий первого вида и 4 ед. изделия второго вида.
Рисунок 5.1.
Имя файла: mathprog3.doc
Размер файла: 58.5 Kb
Если закачивание файла не начнется через 10 сек, кликните по этой ссылке