Примеры решения задач по рынку ценных бумаг - опционы(биномиальная модель).

Задание на семинар 3

  1. Акция, продаваемая сегодня за 25 долл., через год будет стоить либо 35, либо 20 долл. Если процентная ставка равна 8%, какова текущая цена однолетнего опциона Call с ценой исполнения 30 долл.?

Решение

c = (0,472*5+0,528*0)*e-0,08 = 2,18

  1. В задании (1) рассчитайте текущую цену однолетнего опциона Put на акцию с ценой исполнения 30 долл. Продемонстрируйте справедливость паритета опционов Put и Call.

Решение

p = (0,472*0+0,528*10)*e-0,08 = 4,87

Put-Call parity:

2,18+30e-0,08*1 = 29,87

  1. В биномиальной модели опцион Put выписан на акцию, продаваемую сегодня по цене 30 долл. Цена исполнения опциона Put 40 долл. Возможные выплаты по опциону Put равны 20 и 5 долл. Цена опциона Put 12,25 долл. Чему равна безрисковая процентная ставка? Предположим, что базовый период равен 1 году.

Решение

p = (p*5+(1-p)*20)*e-r = 12,25

Согласно выплатам по этому опциону, цена акции либо вырастет до 35 долл., либо снизится до 20.

Следовательно:

p*35+(1-p)*20 = 30*er

Упрощая это выражение, получаем:

. Откуда:

Следовательно, безрисковая процентная ставка отрицательная. Это объясняется тем, что при любом вероятном исходе владелец опциона остается в выигрыше.

  1. Большинство аналитиков считают, что акция корпорации АБВ, продаваемая сегодня по цене 50 долл., через год будет стоить либо 65, либо 45 долл. Они также прогнозируют, что вероятность этих цен составляет 0,6 и 0,4 соответственно. Рыночная безрисковая процентная ставка равна 6%. Чему равна цена опциона Call на акцию АБВ с ценой исполнения 50 долл., со сроком погашения через год?

Решение

c = (0,6*15+0,4*0)*e-0,06 = 8,48

Но, в соответствии с приведенными данными, в риск-нейтральном мире величина р должна составить:

p*65+(1-p)*45 = 50*e0,06 . Следовательно: р = 0,4, (1-р) = 0,6.

Тогда стоимость опциона колл составит:

c = (0,4*15+0,6*0)*e-0,06 = 5,65

  1. В настоящее время акция продается по цене 60 долл. Ожидается, что в конце года цена акции либо возрастет на 25%, либо снизится на 20%. Безрисковая процентная ставка равна 5%. Рассчитайте цену европейского опциона Put с ценой исполнения 55 долл.

Решение

В соответствии с условием задачи, цена акции либо вырастет до 75 долл., либо сократится до 48 долл. Следовательно:

p*75+(1-p)*48 = 60*e0,05 . Отсюда р = 0,55838, (1-р) = 0,44162

В случае если цена акции поднимется до 75 долл., то выплаты по опциону Put с ценой исполнения 55 долл. будут равняться 0, но если цена акции упадет до 48 долл., то выплаты составят 7 долл. Следовательно, цена опциона должна равняться следующей величине:

(0,55838*0+0,44162*7)*e-0,05 = 2,94

  1. Рассмотрите двухступенчатую биномиальную модель, в которой годовая процентная ставка равна 9%, а цена акции возрастает на 15% либо снижается на 10% в каждый период:

66,1250

57,50

50

45

51,7500

40,5000

а) Оцените европейский опцион Call на акцию с ценой исполнения 60 долл.

б) Оцените европейский опцион Put на акцию с ценой исполнения 60 долл.

в) Оцените американский опцион Call на акцию с ценой исполнения 60 долл.

г) Оцените американский опцион Put на акцию с ценой исполнения 60 долл.

Решение

Для каждого вопроса необходимо произвести расчеты в два этапа.

В данном случае:

1-р = 0,223303

а) В случае, если цена акции вырастет до 66, 125 долл., то выплаты по европейскому опциону Call составят 6,125 долл., а если она опустится до 51,7500 долл., то выплаты будут равны 0.

1 этап: c = (0,776697*6,125+0,223303*0)*e-0,09 = 4,347817 или 0

2 этап: c = (0,776697*4,347817+0,223303*0)*e-0,09 = 3,09

б) В случае, если цена акции вырастет до 66, 125 долл., то выплаты по европейскому опциону Put составят 0 долл., если она опустится до 51,7500 долл., то выплаты будут равны 8,25долл., а если снизится до 40,5 долл., то выплаты составят 19,5 долл. Таким образом:

1 этап: p(1) = (0,776697*0+0,223303*8,25)*e-0,09 = 0,204

p(2) = (0,776697*8,25+0,223303*19,5)*e-0,09 = 9,836

2 этап: p = (0,776697*0,204+0,223303*9,836)*e-0,09 = 2,15

в) Поскольку досрочное исполнение американского опциона Call невыгодно, то его цена равна цене европейского опциона Call и составит 3,09 долл.

г) Так как после первого этапа в обоих случаях досрочное исполнение опциона Put более выгодно, то:

р = (0,776697*2,5+0,223303*15)*e-0,09 = 4,836

  1. В настоящее время акция продается за 60 долл. Опцион Put выписан на 2 года, в течение которых ежегодно цена акции либо возрастет на 30%, либо снизится на 10%. Безрисковая процентная ставка равна 6%. В настоящий момент опцион Put продается за 9 долл. Используя биномиальную модель, определите, является данный опцион европейским или американским.

Решение

K

p

1-p

70

0,404591

0,595409

101,4

16,05037008

0

78

0

60

70,2

6,728661661

9

0

8,971755746

54

11,99972

16

48,6

21,4

  1. Двухлетний американский опцион Put выписан на акцию, текущая цена которой равна 42 долл. Вы ожидаете, что каждый год цена акции либо вырастет на 10%, либо снизится на 5%. Однолетняя процентная ставка равна 5%. Цена исполнения опциона равна 45 долл. Возможно ли досрочное исполнение этого опциона?

Решение

K

p

1-p

45

0,675141

0,324859

72,6

0

66

0

42

62,7

0,677507

0

1,57598

39,9

2,192467

5,1

37,905

7,095

При цене 39,9 – досрочное исполнение

  1. Текущая цена акции 50 долл. В течение каждого последующего трехмесячного периода ожидается ее рост на 6% или снижение на 5%. Безрисковая процентная ставка равна 5% в год.

а) Определите цену шестимесячного европейского опциона Call с ценой исполнения 51 долл. Определите, что аргументы отсутствия арбитражных возможностей и риск-нейтральной оценки дают одинаковый результат.

б) Определите цену шестимесячного опциона Put с ценой исполнения 51 долл. Убедитесь в том, что цены европейских опционов Call и Put удовлетворяют паритету опционов Call и Put.

в) Если бы опцион Put был американским, являлось ли бы досрочное исполнении опциона оптимальным?

Решение

а)

K

p

1-p

51

0,568895

0,431105

67,416

16,416

63,6

13,23353

50

60,42

9,688217

9,42

9,688217

47,5

5,292421

5,292421

45,125

0

б)

в)

K

p

1-p

51

0,568895

0,431105

67,416

0

63,6

0

50

60,42

1,064919

0

1,490124

47,5

2,50128

3,5

45,125

5,875