Пример контрольной по финансовой математике - 3

Ниже приведены условия и решения задач. Закачка решений в формате doc начнется автоматически через 10 секунд.

1

 

Задание 1.6

       За время пользования долгом величина процентных денег со­ставила 25000 д.е. при временной базе 365 дней. Найти величину процентных денег при расчете их по обыкновенному (банковскому) варианту при тех же остальных условиях начисления простых про­центов.

Решение.

        Величина процентных денег при временной базе 365 дней:

25000 = (S0n i) / 365,

    Где n – число дней в периоде пользования,  S0 -  начальная сумма вклада, i- годовая процентная ставка. Откуда:

S0 ∙ n ∙ i  = 25000 ∙ 365

      Величина процентных денег при временной базе 360 дней:

(S0n i) / 360 = (25000 ∙ 365)/360 = 25350 д.е.

 

 

 

 

Задание 2.9

На ссуду 10000 д.е. начисляются сложные проценты в конце каждого квартала по годовой номинальной процентной ставке 0,05. Определите величину долга через 5 и 10 лет.

Решение.

     Воспользуемся формулой сложных процентов:

,

   Где S – наращенная сумма ссуды, P – начальная сумма ссуды, j – годовая процентная ставка, m – число раз в году начисления процентов, n – число лет в периоде.

    Определим величину долга через 5 лет:

   Величина долга через 5 лет составит 12820 д.е.

Определим величину долга через 10 лет:

   Величина долга через 10 лет составит 16440 д.е.

 

 

 

 

 

 

Задание 3.12

            Две фирмы имеют годовые обороты 1 млн д.е. и 2 млн д.е. соответственно. Оборот первой фирмы растет ежемесячно на 2 %, а оборот второй - уменьшается на 1 %. Определите, когда годовые обороты фирм станут одинаковыми.

Решение.

    Для решения задачи воспользуемся формулой сложных процентов:

,

  Где j  - месячная процентная ставка, m – число месяцев.

    На основании приведенной выше формулы составляем уравнение:

       Решая полученное уравнение, определяем, когда годовые обороты фирм будут одинаковыми.

       Примерно через 23 месяца годовые обороты фирм будут одинаковыми.

 

 

 

 

Задание 4.15

        На начальную сумму ссуды предусматривается непрерывное начисление процентов по силе роста, изменяющейся дискретно по следующей схеме; первые два года она равна 0,08, следующие три года— 0,09 и далее в течение 5 лет- 0,1. Определите множитель на­ ращения и эквивалентную годовую процентную ставку при начисле­нии сложных процентов.

Решение.

      Воспользуемся формулой:

,

   Где i – сила роста в i-ый промежуток времени, ti – продолжительность i-го промежутка времени.

    Находим множитель наращения:

    Множитель наращения составляет 2,535.

   Определяем эквивалентную процентную годовую ставку при начислении сложных процентов по формуле:

,

Где n – число лет, к – множитель наращения.

  Эквивалентная годовая ставка сложных процентов составляет 9,7%.

 

 

 

 

 

 

Задание 5.18

        Между январем 1990 г и январем 1994 г. индекс потребитель­ских цен IР (уровень инфляции) вырос со 121 до 636. Определите го­довой темп прироста цен за этот период в процентах. Выразите индекс цен в форме аеkt, если величина индекса цен при t=0 соответ­ствует индексу цен в январе 1990 г. Предполагая темп прироста ин­декса цен постоянным, установите, когда индекс цен достигнет величины 5000?

Решение.

    Определим среднегодовой темп роста цен по формуле:

,

  Где n – число лет, I0 – значение индекса инфляции в момент, принятый за базу сравнения, In – значения индекса инфляции в n-ый период времени.

  Находим:

    Ежегодно с 1990 года по 1994 год индекс инфляции в среднем возрастал на 51,4%.

   Выразим индекс цен в форме а∙еkt. При t=0, a = I0 = 121

,

   Откуда находим k:

  В результате получим:

  Определим период времени, когда величина индекса цен достигнет 5000:

   Через 9 лет величина индекса цен достигнет 5000.

 

 

 

Задание 6.1

      Создается страховой фонд. В конце каждого года делается взнос в размере 40000 д.е. и на собранные деньги начисляются сложные проценты по годовой процентной ставке 0,1. Выведите формулу наращенной суммы через n лет. Определите размер фонда через 10 лет.

Решение.

    Выведем формулу наращенной суммы. Пусть R – величина годового взноса, i- годовая процентная ставка, n – число лет, тогда величина наращенной суммы:

S = R∙(1+i)n + R∙(1 + i)n-1 + R∙(1 + i)n-2 + R∙(1 + i)n-3 + + R.

   Мы получили геометрическую прогрессию с первым членом a1 = R  и знаменателем

q = (1 + i).

   Сумма членов геометрической прогрессии:

    Найдем размер фонда через 10 лет:

  Размер фонда составит 637500 д.е.

 

 

 

 

Задание 7.4

Чтобы   через   10  лет  приобрести   оборудование   по   цене 120000 д.е., фирма планирует создать резервный фонд. Сумма еже­квартальных взносов, которые депонируются под сложные проценты, начисляемые каждый квартал по годовой процентной ставке 0,08, равна 1986,69 д.е. После 34-го взноса (8,5 лет) годовая процентная ставка увеличилась до 0,12. Определите величину квартальных взно­сов в оставшийся период.

Решение.

       Определим наращенную сумму ренты по формуле:

  , где R – разовый рентный платеж, j – номинальная процентная ставка ренты, m и p число периодов начисления процентов и платежей в году, n – число лет. В нашем случае nm=34, m=4, p=4.

   

  Величина резервного фонда после 34-го взноса составляет 95428 д.е.

  Определим величину квартального платежа после изменения процентной ставки из формулы:

 

Величина поквартального  платежа составит 935,87 д.е.

 

 

 

 

 

 

Задание 8.7

        Четырехгодичный контракт предусматривает взносы в 2 этапа с начислением на них сложных процентов по годовой процентной ставке 0,08 на первом этапе в течение первых 1,5 лет и по годовой процентной ставке 0,1 на втором этапе в последующие 2,5 года. На
первом этапе взносы по 5000 д.е. производятся в конце каждого по­лугодия. На втором этапе взносы по 8000 д.е. производятся в конце каждого квартала. Определите наращенную сумму потока платежей.

Решение.

   Определим наращенную сумму ренты после первого этапа по формуле:

  , где R – разовый рентный платеж, j – номинальная процентная ставка ренты, m и p число периодов начисления процентов и платежей в году, n – число лет.

После первого этапа наращенная сумма ренты составила 15608 д.е.

  Определим наращенную сумму ренты после второго этапа:

 

 

   Наращенная сумма потока платежей составит 109606,6 д.е.

 

 

 

 

 

Задание 1.

Коммерческий банк привлекает средства населения под простые проценты с процентной ставкой 36% годовых . Клиент внес бы сумму на депозит с 12 февраля по 24 апреля . Определить величину коэффициента наращения и наращенных процентов в трех случаях : а) точные проценты с точным числом дней ; б) обыкновенные проценты с точным числом дней ; в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней . Год не високосный .

Решение.

Определим коэффициент наращения  вклада по формуле :

, где  t – число дней ссуды ; Д -  продолжительность года  в днях .

а) точные проценты с точным числом дней :

Коэффициент наращения составляет 1,07 ; величина наращенных процентов – 7% .

б) обыкновенные проценты с точным числом дней :

 

Коэффициент наращения составляет 1,071 ; величина наращенных процентов – 7,1% .

в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней :

Коэффициент наращения составляет 1,072 ; величина наращенных процентов – 7,2% .

 

 

 

Задание 2.

Предприятие получило кредит на 3 года под годовую процентную ставку 36% годовых . Комиссионные составляют 5% от суммы кредита . Определить эффективную процентную ставку кредита , если кредит получен под простые проценты .

Решение .

Определим коэффициент наращения вклада с учетом комиссионных :

Эффективная процентная ставка простых процентов с учетом комиссионных :

Эффективная процентная ставка операции составляет 28,7% годовых .

 

Задание 3.

      Предприятие заменяет оборудование . Стоимость нового оборудования 1400 млн. р. Планируемые доходы от замены оборудования : 650 , 650 , 600 , 600 , 550 , 550 , 550 , 500 , 500 млн. р. Проанализировать инвестиционный проект , если ожидаемый годовой уровень инфляции 8% . До какого годового уровня инфляции рентабелен данный проект ?

Решение .

Для данного  проекта определяем приведенную стоимость поступлений от инвестиций по формуле :       , где Si – поступления в i-ый период времени , r- рыночная процентная ставка .

      Определяем рентабельность  :  , где Е- затраты на проект .

Рентабельность инвестиционного проекта : 1959/1400=1,399 или 139,9% .

Определим до какого уровня инфляции будет рентабелен данный проект :

Проект будет рентабелен до уровня инфляции 41% .

 

 

 

Задание 4.

      Фирма приобрела пакет  из 40 облигаций со сроком погашения 4 года и номинальной стоимостью 2 млн. р. каждая по курсу 90 . Доход по облигациям выплачивается ежегодно  по ставке 24% годовых и реинвестируется по ставке 33% годовых . Определить доход по облигациям  и доходность . Какая реальная ставка доходности , если уровень инфляции 12% ?

Решение.

       Проценты , выплачиваемые за год : R = 40 · 2 · 0,24  = 19,2 млн. р.

Найдем доход , полученный при размещении средств на счету . Для этого воспользуемся формулой :

  , где R – разовый рентный платеж , j – номинальная процентная ставка ренты , m и p число периодов начисления процентов и платежей в году , n – число лет .

       Находим :

 

Доход организации составляет 123,87 млн. р.

Определим эффективную ставку доходности из соотношения : 

S1 = 123,87 + 40 · 2 = 203,87 млн.р. ; Р = 40 · 2 · 0,9 = 72 млн.р.

   , доходность операции составляет 29,7% годовых .

 

   Определим реальную ставку доходности .

Реальная ставка доходности :

Реальная ставка доходности – 15,8% годовых.

 

 

 

 

Задание 5.

Требуется объединить три финансовые ренты в одну платежи выплачиваются раз в год (в начале) и квартальным начислением процентов . Срок объединенной ренты – 5 лет . Платежи начисляются немедленно . Процентная ставка объединенной ренты  - 30% . Условия объединения рент приведены в табл.1 , где m и p число периодов начисления процентов и платежей в году ; r – номинальные процентные ставки рент ; t – продолжительность периода , на который откладываются денежные платежи , R – разовые рентные платежи .

Таблица 1.

ренты

Срок ренты , n лет

m

p

t , лет

R, млн.р.

r , %

I

5

4

12

0

40

26

II

3

4

2

1

70

30

III

3

12

4

1

90

30

Решение .

Современная величина для р-срочной ренты , при начислении процентов m раз в год :

, где r- процентная ставка ренты .

Для первой ренты :

А1=1350 млн. р.

Для второй ренты :

А2=195,399 млн. р.

Для третьей ренты :

 

А3=512,541 млн. р.

Для всех трех рент :

Долее рассчитываем объединенную ренту :

Разовый рентный платеж :

Ответ :  Размер ренты (платежа) составляет  R=190,974 млн. р.

 

 

 

Задача 6.

            Стоимость товара 3000 млн. р. Покупатель выписал 8 векселей с последовательным погашением через каждые три месяца . Проценты , включенные в вексель начисляются на остаток задолженности по ставке 48% годовых . Продавец учел векселя по годовой учетной ставке 40% . Определить стоимость каждого векселя и сумму , полученную продавцом . Какой должен быть корректирующий множитель и какая скорректированная стоимость каждого векселя  , чтобы продавец получил полную стоимость ? Определить текущую задолженность покупателя , если он выдал скорректированные векселя , а рыночная процентная ставка  50% .

Решение.

Для удобства математических вычислений воспользуемся пакетом Mathcad .

     Число векселей :

             

Проценты , включенные в вексель начисляются на остаток задолженности :

Учетная ставка векселей :

      Стоимость товара (млн. р. ):

      Рыночная процентная ставка  :

Сумма векселя погашаемого в t-ый момент времени , рассчитывается по формуле :

Векселя имеют стоимость :

V1=735 млн.р.

V2=690 млн.р.

V3=645 млн.р.

V4=600 млн.р.

V5=555 млн.р.

V6=510 млн.р.

V7=465 млн.р.

V8=420 млн.р.

Сумма полученная продавцом (млн. р.) :

Сумма полученная продавцом составляет 2730 млн. р.

Корректирующий множитель :

Следовательно стоимость товара должна быть (млн. р.):

Определим скорректированную сумму каждого векселя (млн.р.) :

Скорректированные стоимости векселей :

Vs1=807,7 млн.р.

Vs2=758,2 млн.р.

Vs3=708,8 млн.р.

Vs4=659,3 млн.р.

Vs5=609,9 млн.р.

Vs6=560,4 млн.р.

Vs7=510,0 млн.р.

Vs8=461,5 млн.р.

Определим текущую задолженность покупателя. Рыночная ставка за три месяца :

Текущая задолженность покупателя (млн. р.) :

 

 

 

 

Задание 2.3

     Кредит в размере 30000 д.е. выдан на срок 3 года и 160 дней при начислении сложных процентов по годовой процентной ставке 0,065 с временной базой 365 дней. Определите величину долга к концу сро­А.

Решение.

      В практике финансовых вычислений расчет наращенной суммы для данного случая комбинируют: наращенную сумму для целого числа периодов рассчитывают по принципу сложных процентов , для дробного числа – по принципу простых процентов :

, где Р – первоначальная сумма долга, j – годовая процентная ставка, l – число лет, - неполное число дней в периоде.

Находим:

    Таким образом величина долга к концу срока составит 37270 д.е.

 

 

 

 

Задание 3.6

     Выразить в форме y = aekt следующие функции : y = 2t y = 10002t/3 ; y = 5(1,04)t ; y = 6108(1,05)-t.

Решение.

Находим для функции y = 2t:

Логарифмируем правые и левые части заданной функции , а затем преобразовываем функцию к требуемому виду   lny = ln2t lny = tln2 y = etln2 y = eln2et y = 2et

    В результате получим y = 2∙et.

Находим для функции y = 1000∙2t/3:

Ln(y/1000) = ln2t/3 ln(y/1000) = (t/3)∙ln2 y/1000 = e (t/3)∙ln2 y/1000 = eln2et/3

 y = 2000∙et/3

    В результате получим y = 2000∙et/3.

    Аналогично находим и для остальных функций.

y = 5(1,04)t у = 5∙1,04∙et y = 5,2∙et

y = 6108(1,05)-t y = 6∙108∙1,05∙et y = 6,3∙108et.

 

 

 

 

Задание 4.9

    Найдите годовую номинальную процентную ставку, соответствующую эффективной процентной ставке 0,084, если сложные проценты начисляются один раз: а) в полугодие; б) в квартал; в) в месяц; г) непрерывно.

Решение.

     Для сравнения доходов от использования той или иной схемы начисления процентов применяется эффективная процентная ставка , начисление сложных процентов за год по которой дает то же соотношение между S(0)  и S(t), что и при любой другой схеме начисления процентов.

   Если в контракте указаны эффективная процентная ставка iэф и число начислений m сложных процентов , то можно найти номинальную ставку по формуле:

а) для полугодового начисления процентов находим:

при полугодовом начислении процентов номинальная ставка составит 0,082;

б) для квартального начисления процентов:

при поквартальном начислении процентов номинальная ставка составит 0,081;

в) для ежемесячного начисления процентов:

при ежемесячном начислении процентов номинальная ставка составит 0,08093;

г) при непрерывном начислении процентов:

воспользуемся соотношением ;

в нашем случае t = 1 , поэтому ,

при непрерывном начислении процентов номинальная ставка составит 0,084.

 

 

 

 

Задание 5.12

     Сертификат номиналом 100 тыс. руб. с объявленной доходностью 12 % годовых, начисляемых простыми процентами, и сроком на 720 дней куплен по цене 110 тыс. руб. за 250 дней до погашения. Определите доходность инвестиций в виде эффективной процентной ставки.

Решение.

  По формуле простых процентов определим стоимость сертификата на момент погашения.

, где  j – годовая (номинальная) ставка ; n = 720/260 = 2 года-  продолжительность периода .

S=100·(1+0.12·2)=124 тыс. р.

    Тогда доходность операции: d = S/P1 – 1 = 124/110 – 1 = 0,127 или 12,7%, где Р1 – покупная цена сертификата.

  Определи эффективную процентную ставку операции:

iэф = (dm)/360 = ( 0,127∙250)/360 = 0,088 или 8,8%, где m – число дней операции.

  Эффективная процентная ставка операции составляет 8,8%.

 

 

Задача 6.15

      Молодожены имеют годовой доход 45000 д.е. Ипотечный банк дает в долг сумму, которая должна постоянно погашаться одной третьей месячного дохода. Бели банк использует начисление слож­ных процентов по месячной процентной ставке 0,012 и долг погаша­ется в течение 25 лет, то какова может быть величина взятого кредита?

Решение.

    Определим величину ежемесячного платежа по кредиту:

R = 45000/(3∙12) = 1250 д.е.

   Величину кредита определим по формуле:

 

, где r- годовая процентная ставка ренты, р – число выплат в году, А - современная величина для n-срочной ренты , при начислении процентов m раз в год.

В нашем случае r = 0,012∙12 = 0,144, p = m =12, n = 25.

Находим:

    Семья может взять кредит в размере 101300 д.е.

 

 

 

 

 

Задача 7.18

    Семья планирует купить новый автомобиль за 10000 д.е. Эту сумму семья взяла в долг на 36 месяцев под сложные проценты по процентной ставке 0,0075 в месяц. Определите величину ежемесяч­ных выплат.

Решение.

В данной задаче необходимо определить величину разового рентного платежа по современной величине ренты. Воспользуемся формулой:

    , где r- процентная ставка ренты , р – число выплат в году, А - современная величина для n-срочной ренты , при начислении процентов m раз в год :

 

    Тогда разовый рентный платеж определяется как:

    В нашем случае А= 10000д.е., n = 36/12 = 3, m = p = 12, r = 0,007512 = 0,09.

Находим:

  Ежемесячно семья должна выплачивать 317,997 д.е.

 

 

 

 

Задача 8.1

    Пятилетний контракт предусматривает, что после первого пла­тежа 5000 д.е., производимого в конце первого года, последующие платежи ежегодно увеличиваются на 1000 д.е. При этом на платежи начисляются сложные проценты по годовой процентной ставке 0,08. Определите наращенную сумму потока платежей данного контракта, а также его современную величину.

Решение.

    Современную стоимость данного потока платежей найдем как сумму дисконтированных платежей. Выберем момент времени на который будем производить дисконтирование t0 = 0, тогда

27340 д.е.

    Тогда наращенную сумму потока платежей определим как:

д.е.

    Наращенная сумма потока платежей составит 40171,4 д.е.

Имя файла: finmat4.doc

Размер файла: 535.5 Kb

Если закачивание файла не начнется через 10 сек, кликните по этой ссылке