ЗАДАЧА 28

Указать оптимальные размеры и потоки  инвестирования, если прибыль от вложений (Хi)  в проекты (Аi) распределилась следующим образом:

Хi	A1	A2	A3	A4
30	18	9	47	56
60	56	28	42	42
90	32	39	32	37
120	136	115	121	126

Задание выполнить, используя:

1.       принцип Беллмана

2.       метод компьютерной оптимизации

Решение.

1. Пусть средства предоставлены только проекту А1. В этом случае рекуррентное соотношение имеет вид:

B1(y) = f1(x).

В зависимости от начальной суммы с = 120 получаем значения В1(у), 0≤у≤120.

Таблица 1.

y	0	30	60	90	120
B1(y)	0	18	56	32	136
x1(y)	0	30	60	90	120
f2(x)	0	9	28	39	115

Предположим теперь, что средства вкладываются в два первых варианта: А1 и А2. Функциональное соотношение будет иметь вид:

B2(y) = (f2(z) + B1(y – z)), 0≤y≤120.

Таблица 2.

y	0	30	60	90	120
B2(y)	0	18	56	65	136
X2(y)	0	30	60	60 и 30	120
F3(x)	0	47	42	32	121

 

Предположим теперь, что средства вкладываются в три первых проекта. Функциональное соотношение будет иметь вид:

B3(y) = (f3(z) + B2(y – z)), 0≤y≤120.

Таблица 3.

y	0	30	60	90	120
B3(y)	0	47	65	103	136
X3(y)	0	30	30 и 30	60 и 30	120
F4(x)	0	56	42	37	126

Пусть теперь средства вкладываются во все четыре проекта. Функциональное соотношение будет иметь вид:

B4(y) = (f4(z) + B3(y – z)), 0≤y≤120.

Таблица 4.

y	0	30	60	90	120
B4(y)	0	56	103	121	159
X4(y)	0	30	30 и 30	60 и 30	90 и 30

Таким образом, оптимальной будет следующая стратегия:

Четвертому проекту выделить 30 тыс. у. е.;

Третьему проекту выделить 30 тыс. у. е.;

Первому проекту выделить 60 тыс. у. е.;

Второму проекту средства не выделять.

Прибыль при этом составит 159 тыс. у. е.

 

2. Теперь для решения этой задачи воспользуемся Excel.

Для этого выделим шаги тренда ti, вложения xi и прибыли Ai. Затем для каждого из четырех проектов построим средствами MS Excel графическую зависимость прибыли А от шага тренда (t= 1, 2, 3, 4). Активизируем точки графика, щелкнув по ним левой клавишей мыши, затем нажмем правую клавишу и выберем режим «Добавить линию тренда». Для всех четырех проектов наилучшим типом является полиномиальный 3-ей степени. С помощью полученных уравнений трендов находим теоретические значения прибыли при различных значениях шага тренда ti. Уравнения моделей тренда, коэффициенты аппроксимации и теоретические значения прибыли, представлены на рисунке 4.1.

Рис. 4.1. Графические зависимости прибыли от вложений и полиномиальные тренды этих зависимостей.

 

В ячейку М30 вводим выражение для общей (суммарной) прибыли, которую надо максимизировать, - это сумма всех четырех полиномиальных функций. Зависимыми переменными в этой функции являются искомые значения шагов тренда, которые будут располагаться в ячейках E30-H30. Суммарные вложения не должны превышать 120 тыс. ед., следовательно, вводим ограничение 30*(E30+F30+G30+H30-4) в ячейку D35.

Выбираем из главного меню MS Excel режим «Поиск решения» и заполним открывшееся диалоговое окно в соответствии с требованиями. Нажмем клавишу «выполнить» и получим результат оптимизации.

Рис. 4.2. Модель максимизации прибыли.

Рис. 4.3. Оптимальное распределение капиталовложений между проектами.

 

Найденное нами решение совпадает с решением, найденным нами в ручную.