Теория функций комплексного переменного.

№1 Найдите изображения данных оригиналов и укажите, какими теоремами пользовались.

1)

Решение.

Преобразуем данный оригинал по формуле

Находим изображение по формуле 

То по свойству линейности изображений следует, что

Ответ:

2)

Находим изображение и по формулам 

По теореме смещения . Тогда

По свойству линейности окончательно получаем

Ответ:

 

3)

По формуле понижения степени упростим

Тогда

Находим изображение и по формулам 

Находим

С учетом свойства линейности

По теореме интегрирования изображений, получаем

Ответ:

4)

По формуле получаем

По свойству линейности

По теореме запаздывания

Ответ:

 

5)

Данный интеграл есть свертка оригиналов и .

Операции свертки оригиналов соответствует умножение изображений.

Так как и , то

То по  теореме об умножении изображений.

, получаем

Ответ:

6)

 

Аналитическая запись функции имеет вид

Применяя функцию Хевисайда, данную функцию можно представить следующим образом.

Так как

На основании теоремы запаздывания

По свойству линейности получим

Ответ:

 

7)

Разложим функцию по степеням t-5 пользуясь формулой Тейлора

, =5

Тогда

Получаем

Согласно теореме запаздывания

Применим свойство линейности

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

№8 Найдите оригинал изображения с помощью свойств преобразования Лапласа.

Решение.

 Наличие слагаемого в сумме , стоящей в знаменателе, говорит о том, что косинус имеет смещение, т.е. нужно воспользоваться формулой

По теореме о дифференцировании изображения, имеем

 

Ответ:

 

№9 Найдите оригинал изображения с помощью вычетов.

Решение.

Для отыскания f(t) нужно найти сумму вычетов функции во всех особых точках . Найдем корни знаменателя

Получили корни . Все корни являются простыми полюсами для функции . Для простого полюса справедливо следующее: если , а р0 является простым полюсом , то вычет можно вычислить по формуле

В данном случае , ,

Следовательно

Были учтены формулы:

,

,

Ответ:

 

№10 Найдите оригинал изображения с помощью разложения рациональной дроби в сумму элементарных.

Решение.

Найдем корни знаменателя функции

Разложим данную дробь на элементарные

Приведя правую часть последнего равенства к общему знаменателю и приравняв числители дробей, получим тождество:

Найдём искомые коэффициенты из системы:

 

Тогда

Применяя теорему смещения и свойство линейности, получим

, ,

Ответ:

 

№11 Решить дифференциальное уравнение с заданными начальными условиями

,

Решение.

Запишем уравнение в изображениях

Пусть , то

 ,

С учетом

исходное дифференциальное уравнение запишется в виде

Разложим дробь на простые дроби

 

 

Тогда

Используя соответствия

   

, ,

получаем искомое частное решение дифференциального уравнения:

Ответ:

 

 

 

 

 

 

№12 Решить дифференциальное уравнение с заданными начальными условиями

,

Решение.

Запишем уравнение в изображениях

Пусть , то

 ,

С учетом

исходное дифференциальное уравнение запишется в виде

Используя соответствия

  

 

Получим

получаем искомое частное решение дифференциального уравнения:

Ответ: