Примеры решенных задач по физике -Контрольная 1(гармонические колебания, плоские волны, кольца Ньютона, дифракция, поляризация света)

    № 304

    Точка совершает гармонические колебания с амплитудой А=10 см и периодом Т=5 с. Определите для точки : 1) максимальную скорость, 2) максимальное ускорение.

    Дано : A=10 см=0.1 м

                 Т=5 с

    Найти : vmax , amax

                                                                 Решение.

    Уравнение гармонического колебания точки имеет вид :

                              x=Acos(ωt+φ)                                                        (1)

    Формулу скорости получим, взяв первую производную по времени от смещения :

                            v==dx/dt=-Aωsin(ωt+φ)

    Максимальная скорость точки равна :

                            vmax=-Aω                                            (2)  ,  где А – амплитуда колебаний ; ω – круговая частота колебаний.

    Круговая частота колебаний ω связана с периодом колебаний Т выражением :

                               ω=2π/T                                            (3)

    С учётом (3) формула (2) примет вид :

                                 vmax=-2πA/T                                  (4)

    Ускорение точки найдём, взяв производную по времени от скорости :

                                 a==dv/dt=-Aω2cos(ωt+φ)             

    Максимальное ускорение, равно :

                                 amax=-Aω2                                      (5)

    С учётом (3) перепишем формулу (5) в виде :

                                 amax=-4π2A/T2                               (6)

    Производя вычисления по формулам (4) и (6), найдём максимальные скорость и ускорение точки.

                                  vmax=-2×3.14×0.1/5=-0.13 м/с

                                  amax=-4×3.142×0.1/52=-0.16 м/с2

    Ответ : vmax=-0.13 м/с ; amax=-0.16 м/с2

 

                № 314

    Волна с периодом Т=1.2 с и амплитудой колебания А=2 см распространяется со скоростью 15 м/с. Чему равно смещение точки, находящейся на расстоянии 45 м от источника волн в тот момент, когда от начала колебаний источника прошло время t=4 с?  

    Дано :  T=1.2 c

                 A=2 см=0.02 м

                 v=15 м/с

                  x=45 м

                  t=4 c

    Найти : y

                                                                       Решение.

    Уравнение плоской волны имеет вид :

                            y(x,t)=Acos(ωt-kx)                               (1)  ,  где y – смещение точек среды с координатой x в момент времени t ; ω – круговая частота ; k – волновое число.

    Волновое число k связано с длиной волны λ выражением :

                              k=2π/λ                   (2)  , где λ=vT ; v – скорость распространения колебаний ; T – период колебаний.

    Циклическая частота ω связана с периодом Т выражением :

                             ω=2π/T                  (3)

    С учётом (2) и (3) уравнение (1) примет вид :

                            y(x,t)=Acos(2πt/T-2πx/(vT))=Acos            (4)

    Вычисления по формуле (4), дают :

                            y(45 ; 4)=0.02×cos=0.01 м=1 см

    Ответ : y(45 ; 4)=1 см.

 

 

 

№ 324

    Определить радиус второго темного кольца Ньютона в отраженном свете, если прибор, состоящий из плосковыпуклой линзы с радиусом кривизны 8 м и плоской пластины освещается монохроматическим светом с длиной волны 640 нм.

    Дано: λ=640 нм=6.5×10-7 м

                 R=8 м

                 k=2

    Найти: r2.

                                                                       Решение.

    Радиус темных колец Ньютона в отражённом свете определяется формулой:

                      rk=                                                       (1)

    где k – номер кольца; R – радиус кривизны линзы; λ – длина волны.

    3,2∙10-3 м.

    Ответ: r2=3,2∙10-3 м.

 

 

№ 334

    Постоянная дифракционной решётки в n=4 раза больше длины световой волны монохроматического света, нормально падающего на её поверхность. Определить угол α между двумя  первыми симметричными дифракционными максимумами.

    Дано: n=4                                                           

                k=1

    Найти: α

                                                                        Решение.

    Постоянная дифракционной решётки d , длина волны λ и угол  отклонения лучей соответствующий К – му дифракционному максимуму, связаны соотношением

                       dsin=kλ , или  sin=kλ/d                                             (1)

где к – порядок максимума (в данном случае к=1). Учитывая, что λ/d=1/n перепишем формулу (1) в виде:

                        sin=k/n                                                                           (2)

    Из рисунка видно, что угол α равен удвоенному углу . Тогда формула (2) примет вид:

               sin(α/2)=k/n , откуда   α=2arcsin(k/n)

    Подставим в последнюю формулу числовые значения и вычислим:

                   α=2arcsin(1/4)=29°

    Ответ: α=29°.

№ 346

    На сколько процентов уменьшается интенсивность света после прохождения через призму Николя, если потери света составляют 10%?

    Дано : k=0.1

    Найти : n%

                                                                     Решение.

 

        

    Естественный свет, падая на грань призмы Николя, расщепляется вследствие двойного лучепреломления на два пучка : обыкновенный и необыкновенный. Оба пучка одинаковы по интенсивности и полностью поляризованы. Плоскость колебаний необыкновенного пучка лежит в плоскости чертежа. Плоскость колебаний обыкновенного пучка перпендикулярна плоскости чертежа. Обыкновенный пучок (о) вследствие полного отражения от грани AB отбрасывается на зачернённую поверхность призмы и поглощается ею. Необыкновенный пучок (е) проходит через призму. При этом интенсивность света уменьшается вследствие поглощения в веществе николя. Таким образом, интенсивность света, прошедшего через призму :

                                      I1=0.5I0(1-k)

    где k=0.1 – относительная потеря интенсивности света в николе ; I0 – интенсивность естественного света, падающего на николь.

    Относительное уменьшение интенсивности света получим, разделив интенсивность I0 естественного света, падающего на первый николь, на интенсивность I1 поляризованного света :

                                                             (1)

    Вычисления по формуле (1) дают :

                                       =2.2

    Процентное уменьшение интенсивности :

                          n%==54.5%

    Ответ : при прохождения света через призму интенсивность уменьшится на 54.5%.

 

 

 

 

 

 

 

 

№ 356

 

Найти длину волны де Бройля для электрона, движущегося по круговой орбите атома водорода, находящегося в основном состоянии.

    Дано : n=1

    Найти : λ

                                                                   Решение.

    Длина волны де Бройля λ частицы зависит от её импульса p и определяется формулой :

                                  λ=2πħ/p                                                     (1)

    Импульс частицы можно определить, если известна её скорость v. Связь импульса со скоростью для нерелятивистского (когда v<<c) и для релятивистского (когда v≈c) случаев соответственно выражается формулами :

                    p=m0v        (2)   ;                        p=        (3)

    Формула (1) с учётом соотношений (2) и (3) запишется соответственно в нерелятивистском и релятивистском случаях :

                    λ=     (4)   ;                     λ=     (5)

    Найдём скорость электрона на круговой орбите атома водорода, находящегося в основном состоянии, из следующих соображений. Согласно теории Бора, радиус r электронной орбиты и скорость v электрона на ней связаны равенством mvr=nħ. Так как нам требуется скорость электрона на первой орбите, то главное квантовое число n=1 и равенство примет вид :

                            mvr=ħ

    Откуда скорость электрона :

                            v=                                                              (6)

    где ħ – постоянная Планка (ħ=1.05×10-34 Дж·с) ; m – масса покоя электрона

(m=9.11×10-31 кг) ; a – радиус первой орбиты (а=5.29×10-11 м – Боровский радиус).

    Найдём скорость электрона, произведя вычисления по формуле (6) :

                            v= м/с

    Следовательно, можно применить формулу (4). С учётом (6) формула (4) примет вид :

                            λ=2πa                                                                 (7)

    Вычисления по формуле (7)  дают :

                            λ=2×3.14×5.29×10-11=3.3×10-10 м

    Ответ : λ=3.3×10-10 м.=0.33 нм.