Пример решения задачи по электротехнике - задача 1

    Дано : R1=420 Ом ; R2=210 Ом ; R3=160 Ом ; R4=630 Ом ; R5=350 Ом ; R6=530 Ом ; R7=360 Ом ; R8=610 Ом ; E6=100 В ; E8=600 В ; J2=3 A ; J8=5 A.

Найти : токи в ветвях цепи, напряжение U43.

                                                                        Решение.

  Расположим шесть узлов цепи в указанном порядке и в соответствии с вариантом задания соединим их ветвями. ( рис 1).

                        

    Перерисуем полученный граф схемы, изменив расположение узлов таким образом, чтобы ветви не пересекались.  (рис 2).

                     

    Включим в ветви сопротивления и заданные ЭДС. Источники тока подключим параллельно соответствующим ветвям. (рис 3).

    Придадим элементам схемы удобное расположение.

    Найдём токи в ветвях цепи методом узловых потенциалов. Примем потенциал точки 6 равным нулю : V6=0. Тогда, для остальных трёх узлов, запишем три уравнения для потенциалов этих узлов.

            G22V2-G23V3-G25V5=G23E8-G25E6+J8

            -G32V2+G33V3-G35V5= -G32E8-J8-J2

            -G52V2-G53V3+G55V5=G52E6

    где G22, G33, G55 – собственная проводимость узлов 2, 3 и 5 ; G23=G32, G25=G52, G35=G53 – общая проводимость между узлами соответственно 2 и 3, 2 и 5, 3 и 5.

    Найдём эти проводимости.

               G22= сим

               G33= сим. 

              G55= сим.

               G23=G32= сим.

               G25=G52= сим.

               G35=G53= сим.

    Подставляя в составленные уравнения, полученные значения проводимостей и, заданные значения источников ЭДС и тока. Получим систему для определения потенциалов точек схемы.

                  

    Решим, полученную систему по формулам Крамера.

                     Δ=163.33×10-9

                     Δ1=175.831×10-6

                      Δ2=-139.101×10-6

                      Δ3=-17.777×10-6

    Находим потенциалы узловых точек :

                       V2=1076.538 В

                        V3=-851.656 В

                        V5=-108.841 В

    Находим токи в ветвях схемы (рис 4).

         I1=U53/R1=(V5-V3)/R1=(-108.841+851.656)/420=1.769 A ;

         I2=U36/R2=(V3-V6)/R2=(-851.656-0)/210=-4.056 A

         I3=U62/(R3+R4)=(V6-V2)/(R3+R4)=-1076.538/(160+630)=-1.363 A

         I5=(E6+U25)/(R5+R6)=(E6+V2-V5)/(R5+R6)=(100+1076.538+108.841)/(350+530)=1.461 A

         I7=U65/R7=(V6-V5)/R7=108.841/360=0.302 A

         I8=U32/R8=(E8+V3-V2)/R8=(600-851.656-1076.538)/610=-2.177 A

    Найдём мощность приёмников :

         Pпр==

          =1.7692×420+4.0562×210+1.3632×790+1.4612×880+0.3022×360+2.1772×610=11038.9 Вт

    Найдём мощность источников :

          Pис=E8I8+E6I5+J8(V2-V3)+J2(V6-V3)=

               =600×(-2.177)+100×1.461+5×(1076.538+851.656)+3×851.656=11035.8 Вт.

    Составляем баланс мощностей :

           Pпр=11039 Вт=Pис=11036 Вт

    Найдём напряжение U43.

    По второму закону Кирхгофа для контура 3543, обходя его в направлении против хода часовой стрелки, запишем :

              I5R6+I1R1-U43=E6

    Отсюда находим U43 :

               U43=I5R6+I1R1-E6=1.461×530+1.769×420-100=1417.31 В.

    Определим ток в резисторе R8 методом эквивалентного генератора.

Разомкнём цепь с резистором R8 и найдём э.д.с. и сопротивление Rэк эквивалентного генератора (рис 6). Э.д.с. Eэк эквивалентного генератора равно напряжению U в цепи без ветви с сопротивлением R8. Сопротивление Rэк эквивалентного генератора равно эквивалентному сопротивлению цепи с отключенной ветвью с сопротивлением R8.

    Найдём токи в цепи (рис 5) методом узловых потенциалов.

    Примем потенциал точки 2 равным нулю : V2=0. Тогда, для остальных трёх узлов, запишем три уравнения для потенциалов этих узлов.

            G33V3-G35V5-G36V6= -J8-J2

            -G53V3+G55V5-G56V6= G52E6

            -G63V3-G65V5+G66V6=J2

    где G33, G55, G66 – собственная проводимость узлов 3, 5 и 6 ; G35=G53, G36=G63, G56=G65 , G52 – общая проводимость между узлами соответственно 3 и 5, 3 и 6, 5 и 6, 5 и 2.

    Найдём эти проводимости.

               G33= сим

               G55= сим. 

               G66= сим.

               G35=G53= сим.

               G36=G63= сим.

               G56=G65= сим.

               G52=сим.

    Подставляя в составленные уравнения, полученные значения проводимостей и, заданные значения источников ЭДС и тока. Помощь на экзамене онлайн. Получим систему для определения потенциалов точек схемы.

                  

    Решим, полученную систему по формулам Крамера.

                     Δ=85.476×10-9

                     Δ1=272.345×10-6

                      Δ2=180.025×10-6

                      Δ3=174.847×10-6

    Находим потенциалы узловых точек :

                       V3=3186.216 В

                        V5=2106.147 В

                        V6=2045.568 В

    Находим токи в ветвях схемы (рис 5).

         I1=U53/R1=(V5-V3)/R1=(2106.147-3186.216)/420=-2.572 A ;

         I2=U36/R2=(V3-V6)/R2=(3186.216-2045.568)/210=5.432 A

         I3=U62/(R3+R4)=(V6-V2)/(R3+R4)=2045.568/(160+630)=2.589 A

         I5=(E6+U25)/(R5+R6)=(E6+V2-V5)/(R5+R6)=(100-2106.147)/(350+530)=-2.28 A

         I7=U65/R7=(V6-V5)/R7=(2045.568-2106.147)/360=-0.168 A

    Находим ЭДС эквивалентного генератора (рис 5) :

                  Eэк=U32=V3-V2=3186.216 В

        Находим сопротивление цепи относительно разомкнутых точек. Преобразуем звезду сопротивлений R2, R34, R7 в эквивалентный треугольник (рис 6).

 

    Найдём сопротивления эквивалентного треугольника :

              R25=  Ом

              R35=R2+R7+ Ом.

              R23=R2+R34+ Ом.

    Находим эквивалентное сопротивление цепи(рис 6) относительно точек 2 и 3 :

              R/= Ом.

              Rэк= Ом.

    Находим ток через резистор R8 (рис 7) :

  

                           I8= A

    Ответ : I1=1.8 A ; I2=-4.1 A ; I3=-1.4 A ; I5=1.5 A ; I7=0.3 A ; I8=-2.2 A. Знак «минус» в значениях токов I2, I3 и I8 означает, что направления этих токов противоположно показанному на рисунке.