Пример решения задачи по технической механике - задача 2

    К стальному валу, закреплённому с одного конца,  приложены четыре крутящих момента.

    Требуется :

    1) поострить эпюру крутящих моментов Мк ;

    2) при заданном значении [τ] определить диаметры каждого обозначенного участка вала, округлив их до ближайший стандартных значений ;

    3) построить эпюру напряжений τ ;

    4) выполнить эскиз вала с указанием полученных диаметров.

    Дано : схема 2 ; a=1.9 м ; b=2 м ; c=1.2 м ; T1=1.9 кН·м ; Т2=1 кН·м ; Т3=1.2 кН·м ; Т4=0.9 кН·м ; [τ]=40 МПа.

                                                                       Решение.

    1) поострим эпюру крутящих моментов.

    Для определения крутящего момента в поперечном сечении вала пользуемся методом сечений. Крутящий момент Мк в поперечных сечениях определяется по участкам, причём границами участков являются сечения, в которых приложены внешние скручивающие моменты.

    На каждом участке мысленно рассекаем вал произвольным поперечным сечением и рассматриваем равновесие любой части. Крутящий момент в поперечном сечении вала равен алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих по одну сторону от взятого сечения. При этом крутящий момент считается положительным, если, глядя на сечение, мы видим Мк направленным по часовой стрелке. Помощь на экзамене онлайн.

    Так на участке AB проведём сечение 1-1 и рассмотрим равновесие правой отсечённой части :

                    Мк1=-Т4=-0.9 кН·м

    На участке BC проведём сечение 2-2 и рассмотрим равновесие правой отсечённой части.

                     Мк2=-T4-T3=-0.9-1.2= -2.1 кН·м.

    На участке CD проведём сечение 3-3 и рассмотрим равновесие правой отсечённой части.

                     Мк3=Мк2-T2=-2.1-1=-3.1 кН·м.

    На участке DE проведём сечение 4-4 и рассмотрим равновесие правой отсечённой части.

                     Мк4=Мк3+Т1=-3.1+1.9=-1.2 кН·м.

    По полученным значениям Мк строим эпюру крутящих моментов.

     2) определим диаметры участков вала.

    Условие прочности при кручении :

                       τmax=[τ]

    где [τ] – допускаемое значение напряжения ; Mmax – максимальный крутящий момент ; Wp – полярный момент сопротивления.

    Отсюда определяем необходимое значение полярного момента сопротивления :

                                    Wp≥Mmax/[τ]

    Для круглого сечения Wp=πd3/16≈0.2d3

    Тогда из условия прочности имеем :

                    d≥                             (1)

    На участке AB : Mmax=0.9 кН·м

                     d1= м=48 мм

    Округляем до ближайшего стандартного значения из ряда : d1=50 мм

    На участке BC : Mmax=2.1 кН·м

                      d2= м=64 мм

    Принимаем : d2=65 мм

    На участке CD : Mmax=3.1 кН·м

                       d3= м=73 мм

    Принимаем : d3=75 мм

    На участке DE : Mmax=1.2 кН·м

                        d4= м=53 мм

    Принимаем : d4=55 мм.

 

    3) построим эпюру напряжений τ.

    В сечении на участке AB :

                  Wp1=0.2d13=0.2×0.053=2.5×10-5 м3

                  τmax=Mk1/Wp1=-0.9×103/(2.5×10-5)=-36×106 Па=-36 МПа.

    В сечении на участке BC :

                 Wp2=0.2d23=0.2×0.0653=5.5×10-5 м3

                 τmax=Mk2/Wp2=-2.1×103/(5.5×10-5)=-38×106 Па=-38 МПа

    В сечении на участке CD :

                 Wp3=0.2d33=0.2×0.0753=8.4×10-5 м3

                  τmax=Mk3/Wp2=-3.1×103/(8.4×10-5)=-37×106 Па=-37 МПа

    В сечении на участке DE :

                 Wp4=0.2d43=0.2×0.0553=3.3×10-5 м3

                 τmax=Mk4/Wp1=-1.2×103/(3.3×10-5)=-36 МПа

    На основании вычислений строим эпюру напряжений τ на каждом из участков.

 

    4) выполним эскиз вала.