Пример решения задачи по прикладной механике - задача 3

Ниже приведены условие и решение задачи. Закачка решения в формате doc начнется автоматически через 10 секунд. 

1

 

                                                                    Задача 3 (вар 918).

    Для заданных балок (рис 3) требуется :

    1) записать уравнения для вычисления поперечной силы Q и изгибающего момента М на каждом участке балок в общем виде и построить эпюры Q и М ;

    2) для балки (схема «а») рассчитать диаметр круглого поперечного сечения, если материал балки древесина с [σ]=10 МПа ;

    3) для балки (схема «б») подобрать поперечное сечение в двух вариантах : двутавровое и прямоугольное с соотношением сторон h/b=2, принять материал балки сталь Ст3 с [σ]=160 МПа ;

    4) для балки (схема «б») определить, какое из подобранных сечений более рационально по расходу материала.

    Дано : рис. 8 ; a=1.1 м ; b=2.8 м ; c=0.9 м ; d=2 м ; M=9 кН·м ; F=10 кН ; q=8 кН/м.

                                                                    Решение.

   

    Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов строим методом сечений. Определим выражения для поперечных сил и изгибающих моментов на каждом из участков балки. Балка имеет три участка. Обозначим z – расстояние от правого конца балки до некоторого сечения.

    На участке AB : 0≤z1c

           Q1=qz1 ; M1=-0.5qz12

    На участке BC : cz2c+b

           Q2=qc ; M2=-qc(z2-0.5c)

    На участке CD : c+bz3c+b+a

            Q3=qc-F ; M3=F(z3-b-c)-qc(z3-0.5c)

    Вычислим поперечные силы и изгибающие моменты в характерных сечениях балки.

    На участке AB : при z1=0 ; QA=0 ; MA=0

    при z1=c ; QпрB=qc=8×0.9=7.2 кН ; MпрB=-0.5qc2=-0.5×8×0.92= -3.24 кН·м.

    На участке BC : при z2=c ; QлB=qc=8×0.9=7.7 кН ;

                      MлB=-0.5qc2=-0.5×8×0.92= -3.24 кН·м                        

    при z2=c+b ; QпрC=qc=8×0.9=7.2 кН ;

                     MпрС=-qc(b+0.5c)=-8×0.9×(2.8+0.5×0.9)=-23.4 кН·м.

    На участке CD : при z3=c+b ; QлC=qc-F=8×0.9-10=-2.8 кН ;

             MлС=-qc(b+0.5c)=-8×0.9×(2.8+0.5×0.9)=-23.4 кН·м

    при z3=c+b+a ; QD=qc-F=8×0.9-10=-2.8 кН ;

             MD=Fa-qc(a+b+0.5c)=10×1.1-8×0.9×(1.1+2.8+0.5×0.9)=-20.32 кН·м

    На участке АB эпюра Q изменяется по линейному закону (её эпюра представляет собой наклонную линию), а эпюра М ограничена параболой, которая не имеет экстремума, так как эпюра Q не меняет свой знак на этом участке. Так как, в данной задаче нас интересуют только максимальные значения в пределах участков (по абсолютной величине), то для построения эпюры на участке АB достаточно двух точек. (Наибольшим будет одно из граничных значений).

    По полученным данным строим эпюры Q и М. Для этого отложим перпендикулярно к оси абсцисс в удобном для пользовании масштабе вычисленные значения Q и М для граничных сечений участков и соединим концы полученных ординат линиями, соответствующими законам изменения Q и М. При этом положительные ординаты эпюры Q будем откладывать вверх, а отрицательные – вниз от оси абсцисс ; ординаты же эпюры М будем откладывать со стороны растянутых волокон.

    Подберём размеры круглого сечения методом допускаемого напряжения, т.е. в рассмотрение следует принимать лишь сечение балки, в котором действует наибольший по абсолютной величине изгибающий момент. Помощь на экзамене онлайн. В нашем примере опасным является сечение C, в котором Mmax=23.4 кН·м.

    Круглое сечение деревянной балки подбираем из условия прочности при допускаемом напряжении [σ]=10 МПа :

                       σ=Mmax/Wx=[σ]

    Откуда находим требуемый момент сопротивления сечения балки при изгибе :

               Wx=23.4×103/(10×106)=2340×10-6 м3=2340 см3

    Момент сопротивления круглого сечения относительно нейтральной оси X имеет вид :

                   Wx=0.1d3

    Тогда   d==28.6 см. Принимаем d=30 см.

    б) Схема «б»

    Для определения опорных реакций воспользуемся уравнениями статики.

               ΣmD=0  ; -M-RA(a+b+c)-0.5qd2+qa(0.5a+b+c)=0  , откуда

            RA=

  =2.6 кН

               ΣmA=0  ;  -M-0.5qa2+RD(a+b+c)-qd(0.5d+a+b+c)=0  , откуда

                 RD=

                  ==22.2 кН.

    Сделаем проверку. Для этого составим уравнение проекций сил на вертикальную ось.

                   ΣY=RA-qa-qd+RD=2.6+22.2-8×(1.1+2)=0

    Реакции вычислены, верно. Горизонтальная составляющая реакции в опоре A равна нулю и на рисунке не показана.

    Балка имеет четыре участка. Запишем выражения для поперечных сил и изгибающих моментов на каждом из участков.

    Участок AB (ход слева) ; 0≤z1a ; Q1=RA-qz1 ; M1=RAz1-0.5qz12

    Участок BC (ход слева) ; az2a+b ; Q2=RA-qa ; M2=RAz2-qa(z2-0.5a)

    Участок СD (ход справа) ; dz3c+d ; Q3=-RD+qd ; M3=RD(z3-d)-qd(z3-0.5d)

    Участок DE (ход справа) ; 0≤z4dQ4=qz4  ;  M4=-0.5qz42

    Определим значения Qy и Мx в характерных точках балки.

    Участок AB : z1=0 ; QA=RA=2.6 кН ; MA=0

                            z1=a ; QлB=RA-qa=2.6-8×1.1=-6.2 кН ;

                                      MлB=RAa-0.5qa2=2.6×1.1-0.5×8×1.12=-1.98 кН·м

    Участок BC : z2=a ; QпрB=RA-qa=2.6-8×1.1=-6.2 кН ;

                                      MпрB=RAa-0.5qa2=2.6×1.1-0.5×8×1.12=-1.98 кН·м

                            z2=a+b ; QлC=RA-qa=2.6-8×1.1=-6.2 кН ;

                         MлC=RA(a+b)-qa(b+0.5a)=2.6×(1.1+2.8)-8×1.1×(2.8+0.5×1.1)=-19.34  кН·м

    Участок CD : z3=с+d ; QпрC=-RD+qd=-22.2+8×2=-6.2 кН ;

               MпрC= RDc-qd(c+0.5d)=22.2×0.9-8×2×(0.9+0.5×2)=-10.42 кН·м

                            z3=d ; QлD=-RD+qd= -22.2+8×2=-6.2 кН ;

                                      MлD=-0.5qd2=-0.5×8×22=-16 кН·м.

    Участок DE : z4=dQпрD=qd=8×2=16 кН ;

                                      MпрD=-0.5qd2=-0.5×8×22=-16 кН·м.

                           z4=0 ;  QE=0 ; ME=0

    На участках AB и DE  эпюра М ограничена параболой, которая имеет экстремум на участке AB, так как поперечная сила меняет знак на этом участке.

    Определим абсциссу сечения, в котором действует экстремальный момент из условия :

                          Q1=RA-qz0=0 ; z0=RA/q=2.6/8=0.3 м

    Значение экстремального момента :

                         Mэкс=RAz0-0.5qz02=2.6×0.3-0.5×8×0.32=0.42 кН·м 

    По результатам расчета строим эпюры Q и М. В той же последовательности, что и для консольной балки.

    Номер двутавра для балки подбираем из условия прочности при изгибе и допускаемом напряжении [σ]=160 МПа.

                            σ=Mmax/Wx=[σ]

    В нашем случае Mmax=19.34 кН·м

    Требуемый момент сопротивления Wx=19.34×103/(160×106)=121×10-6 м3=121 см3

    По сортаменту (ГОСТ 8239-72) выбираем двутавр № 18 с Wx=143 см3 и площадью сечения 23.4 см2.

    Момент сопротивления прямоугольного сечения относительно нейтральной оси X имеет вид :

                     Wx=. Учитывая отношение h=2b, запишем : Wx=

    Тогда  b==5.7 см ; h=2×5.7=11.4 см. Площадь прямоугольного сечения :

                A=5.7×11.4=65 см2

    Так как площадь сечения двутавровой балки меньше сечения прямоугольной балки, то расход материала для двутавровой балки – меньше. Поэтому двутавровая балка более рациональна по сравнению с прямоугольной балкой, по расходу материала.

Имя файла: meh3.doc

Размер файла: 979.5 Kb

Если закачивание файла не начнется через 10 сек, кликните по этой ссылке