Примеры решения задач по финансовой математике: кредиты, сложные проценты

Задача 1 

Заемщик - физическое лицо берет кредит в банке в сумме 80 000 руб. сроком на 1 год под
12% годовых. Требуется рассчитать проценты, уплаченные за кредит, в следующих
случаях:
1) заемщик уплачивает проценты ежемесячно, кредит гасит в конце срока.
2) заемщик уплачивает проценты ежемесячно, кредит гасит частями: 30 000 руб. - через
3 месяца и 50 000 руб. - еще через 5 месяцев.
3) заемщик гасит задолженность ежемесячными аннуитетными платежами до конца
срока.

Решение.

  1. При ежемесячной выплате процентов и погашении кредита в конце срока величина ежемесячного платежа по погашению процентов составит:

80000∙(0,12/12) = 800 р.

  1. Ежемесячные выплаты процентов в первые три месяца:

80000∙(0,12/12) = 800 р.

В четвертом и пятом месяцах:

(800000 – 30000) ∙(0,12/12) = 500000∙(0,12/12) = 500р.

После выплату суммы 50000 в конце пятого месяца клиент полностью погасит кредит. Т. е. процентных выплат не будет.

  1. Рассчитаем величину аннуитетного платежа по формуле финансовой ренты:

, \[R=A\frac{r}{1-(1+r)^{-n}}\] где А – современная величина финансовой ренты, r – ставка процентов.

\[R=8000\frac{\frac{0,12}{12}}{1-(1+\frac{0,12}{12})^{-12}}=7.1079*10^{3}\]

 

Тогда величина ежемесячных выплат процентов по месяцам составит:

1-ый: 800 р.;

2-ой: (80000 - 1∙7179)∙0,01 = 736,92 р.;
3-ий: (80000 - 2∙7179)∙0,01 = 673,21 р.;

4-ый: (80000 - 3∙7179)∙0,01 = 608,86 р.;

5-ый: (80000 - 4∙7179)∙0,01 = 543,87 р.;

6-ой: (80000 - 5∙7179)∙0,01 = 478,23 р.;

7-ой: (80000 - 6∙7179)∙0,01 = 411,94 р.;

8-ой: (80000 - 7∙7179)∙0,01 = 344,98 р.;

9-ой: (80000 - 8∙7179)∙0,01 = 277,35 р.;

10-ый: (80000 - 9∙7179)∙0,01 = 209,04 р.;

11-ый: (80000 - 10∙7179)∙0,01 = 140,05 р.;

12-ый: (80000 - 11∙7179)∙0,01 = 70,38 р..



Задача 2
Рассчитать, в каком случае заемщик заплатит процентов меньше при сроке кредита 2 года:
1) заемщик уплачивает проценты ежемесячно, кредит гасит в конце срока, процентная
ставка 10% годовых
2) заемщик гасит задолженность ежемесячными аннунентными платежами до конца
срока, процентная ставка 12% годовых будет учтено на внебалансовом учете в банке.

Решение.

  1. Величина уплаченных процентов за два года:

А∙(1 + 0,1)2 – А = А∙((1+0,1)2 -1), где А величина кредита.

Получим: А∙((1+0,1)2 -1) = А∙0,21

  1. Рассчитаем величину анунентного платежа по формуле финансовой ренты:

\[R=A\frac{(1+\frac{r}{m})^{\frac{m}{p}}-1}{1-(1+\frac{r}{m})^{-mn}}\]

Здесь m – число раз начисления процентов в году, p – число платежей в году.

Находим:

\[24\frac{(1+\frac{0.12}{12})^{\frac{12}{12}}-1}{1-(1+\frac{0.12}{12})^{-12*2}}-1=0.13\]

Проценты составят 0,13∙А.

Во втором случае заёмщик заплатит меньше процентов.

 

Задача 3
01 октября заемщику открыт лимит овердрафта в сумме 1 000 000 руб. В тот же день
заемщик взял овердрафт на сумму 500 000 руб. Далее обороты по расчетному счету
заемщика были следующими.02 октября: приход - 300 000 руб., расход - 200 000 руб., 03
октября: приход - 450 000 руб., расход - 350 000, 05 октября - приход 50 000 руб.,
09 октября - приход 500 000 руб., расход 100 000 руб. 
Процентные ставки по овердрафту в банке плавающие, зависят от срока транша: на 1 день
- 7% годовых, на 2-4 дня — 8 % годовых, на 5-7 дней - 9% годовых, на 8-14 дней - 10%
годовых.
Определить сумму процентов за период с 01 по 09 октября при разных режимах овердрафта в банке.
1 режим. Новый транш не предоставляется, пока прежний не погасится. Списание средств
в погашение овердрафта происходит из положительного сально на расчетном счете
заемщика в конце дня.
2 режим. При наличии задолженности по овердрафту допускается предоставление
клиенту нового транша при соблюдении общего лимита. Списание средств в погашение
овердрафта происходит из средств, поступающих на расчетный счет клиента.

Решение.

1-ый режим.

Составим таблицу задолженности по овердрафту в первом режиме:

 

01.окт

02.окт

03.окт

05.окт

09.окт

Приход

 

300000

450000

50000

500000

расход

 

-200000

-350000

 

-100000

Остаток

 

100000

100000

50000

400000

Погашение

 

-500000

-400000

-300000

-250000

Долг

-500000

-400000

-300000

-250000

150000

Тогда величина процентов за пользование овердрафтом:

250000∙0,1∙(4/360) + 300000∙0,09∙(2/360) + 400000∙0,08∙1/360 + 500000∙0,07∙1/360 = 613,9 руб.

2-ой режим.

Составим таблицу задолженности по овердрафту во втором режиме:

 

01.окт

02.окт

03.окт

05.окт

09.окт

Приход

 

300000

450000

50000

500000

Расход

 

-200000

-350000

 

-100000

овердрафт 1

-500000

 

 

 

 

овердрафт 2

 

-200000

 

 

 

овердрафт 3

 

 

-300000

 

 

Долг

 

 

 

 

 

овердрафт 1

-500000

-200000

 

 

 

овердрафт 2

 

-200000

 

 

 

овердрафт 3

 

 

-300000

-250000

 

Итого

-500000

-400000

-300000

-250000

150000

Тогда величина процентов за пользование овердрафтом:

500000∙0,07∙1/360 + 200000∙0,08∙1/360 + 200000∙0,07∙1/360 + 300000∙0,08∙2/360+250000∙0,09∙4/360 = 563,9 руб.

Пользование овердрафтом во втором режиме выгоднее, так как выплаты по процентам меньше.