Пример задачи по эконометрике - структура временного ряда.

Ниже приведено условие  и решение задачи. Закачка решения в формате doc  начнется автоматически через 10 секунд. 

1

 

Задание 1

Используя данные о пассажирских перевозках на международных авиалиниях США (месячные итоги в тысячах пассажиров) с января 1949 по декабрь 1960, (airline_pass.xls) постройте график перевозок. Сделайте предположение о структуре временного ряда.

(a)        Используя предположения, полученные в пункте (а), рассчитайте коэффициенты автокорреляции соответствующих порядков. Сделайте вывод о наличии тенденции и сезонности.

(b)       Определите период сезонности.

(c)        Сделайте вывод в пользу мультипликативной или аддитивной модели временного ряда.

Решение.

Изобразим рассматриваемый ряд динамики:

По полученной диаграмме временного ряда, можем предположить: ряд имеет четко выраженную трендовую составляющую, имеется циклическая составляющая, так же с увеличение трендового значения наблюдаются более высокие колебания от воображаемой линии тренда, случайная составляющая ряда динамики мала.

a. Построим коррелограмму временного ряда.

По виду коррелограммы, можем предположить, что ряд относится к рядам авторегрессии. Коэффициенты автокорреляции всех порядков являются значимыми – это подтверждает наличие сезонной составляющей в рассматриваемом ряде динамики. Так же по виду функции PACF, можем предположить наличие авторегрессии, т. е. присутствует трендовая составляющая.

b. Определим период сезонности.

 

По виду коррелограммы наблюдаем два цикла, один годовой, а второй – внутренний (полугодовой цикл). Ежегодно ряд совершает большие сезонные колебания и каждые полгода - малые сезонные колебания.

c. Так как в нашем случае с течением времени амплитуда сезонных колебаний не является постоянной, то более адекватной будет мультипликативная модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2

В случае если в пункте (b) была выявлена сезонность, методом скользящей средней рассчитайте сезонную компоненту, и устраните сезонность. Примечание. Используйте для выявления сезонной и трендовой компонент данные с января 1949 по декабрь 1959.

(d)       В случае если в пункте (b) была выявлена тенденция, определите вид тренда.

(e)        Методом аналитического выравнивания устраните тренд.

(f)         Оцените наличие автокорреляции в остатках графическим методом и аналитическими методами.

(g)       Постройте прогнозную модель для периода с января 1949 по декабрь 1959. Оцените построенный прогноз с помощью средней ошибки аппроксимации, коэффициента детерминации и F-критерия Фишера.

По данным, полученным в пунктах (с) и (d) постройте прогноз пассажирских перевозок на 1960 год. Сравните построенный прогноз с фактическими данными за январь-декабрь 1960 года. Оцените качество прогноза.

Решение.

d. Выровним ряд, использую двенадцатимесячную скользящую среднюю.

Как видно из рисунка выровненный ряд имеет временной тренд:

Y = 2,667·x + 84,648

e. Зная уравнения тренда, находим теоретические уровни ряда. Исходя из полученных теоретических уровней ряда, находим для каждого значения индекс сезонности, затем по формуле средней арифметической простой находим индексы сезонности для каждого месяца:

0,941; 0,926; 1,055; 1,008; 0,999; 1,126; 1,242; 1,231; 1,067; 0,925; 0,802; 0,899.

f. Итак мы получили модель, которая описывается уравнение тренда Y = 2,667·X + 84,648 и индексами сезонности.

Найдем теоретические значения по полученной модели и остатки. Изобразим остатки на графике. Как видно из графика остатки  коррелируют между собой. Найдем коэффициент корреляции между остатков.

 

Столбец 1

Столбец 2

Столбец 1

1

 

Столбец 2

0,837177465

1

Коэффициент автокорреляции составляет 0,8372

 

g. Построим модель по выровненным значения ряда динамики.

 

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

P-Значение

Y-пересечение

86,18876482

2,05192107

42,00393772

7,09067E-78

Переменная X 1

2,666507687

0,025147149

106,0361826

7,2816E-129

Y = 2,6665·t + 86,1887

R2 = 0,988. Стандартная ошибка 11,13.

Все коэффициенты регрессии значимые, коэффициент детерминации высок. Однако остатки коррелируют между собой (коэффициент автокорреляции 0,99). Поэтому модель не можем признать удачной.

Построим прогнозную модель используя программу Grelt.

Все коэффициенты полученной модели статистически значимые.

Произведем прогноз, используя полученную модель:

Параметры прогноза:

Средняя абсолютная процентная ошибка прогноза составляет 2,25%, что вполне допустимо.

Изобразим наблюдаемые и расчетные значения на временном графике:

 

 

Задание 3

(a)                   Используя данные о котировках рынка облигаций Германии REX с января 1995 по декабрь 2004, (rex.xls) постройте график котировок. Сделайте предположение о структуре временного ряда.

(b)                   Вычислите значения функции автокорреляции и частной автокорреляции.

(c)                   Определите порядок авторегрессии и скользящего среднего.

Решение.

a. Построим график котировок облигаций Германии REX2 с января 1995 по декабрь 2004.

Анализируя структуру можем отметить трендовую составляющую, циклическую (структурную) и случайную составляющую временного ряда.

b. Найдем значения функции автокорреляции и частной автокорреляционной функции, используя приложение Grelt.

Построим графики автокорреляции и частной автокорреляционной функции.

С. Определим порядок авторегрессии и скользящего среднего.

По виду функции авторегрессии частной автокорреляционной функции предполагаем порядок авторегрессии и скользящего среднего равные единице.

 

 

 

 

Задание 4

Вычислите значения функции автокорреляции и частной автокорреляции для логарифмических доходностей индекса облигаций REX.

(d)                   Постройте модели ARMA (p, q) для уровней и логарифмических доходностей.

(e)                   Сравните полученные в п.(е) модели, и на основании информационных критериев AIC и SC выберите наиболее адекватную.

Решение.

d. Построим модель ARMA (p, q) для уровней ряда. Принимаем порядок авторегрессии скользящего среднего, равный единице (p=1, q=1).

Построим модель ARMA (p, q) для логарифмических уровней ряда. Принимаем порядок авторегрессии скользящего среднего, равный единице (p=1, q=1).

e. Сравнивая информационные критерии Акаике и Шварца, приходим к выводу, что наиболее адекватной будет модель, в которой информационные критерии по модулю меньшие. В нашем случае наиболее адекватной будет модель логарифмических уровней временного ряда. Модули обоих критериев в ней меньше.

 

 

Задание 5

(a)                   Используя ежеквартальные данные по реальным инвестициям в оборудование (IE) и сооружения (IS) с первого квартала 1952 по четвертый квартал 1981, (invest.xls) постройте график. Сделайте предположение о структуре временных рядов.

(b)                   Определите стационарность рядов IE и IS. Если ряды не стационарны, вычислите разности разного порядка, и проверьте их стационарность.

(c)                   Определите порядок интегрируемости временных рядов d.

Решение.

a. Построим графики исследуемых временных рядов.

По виду графика можем предположить наличие трендовой и случайной составляющей в показателе IS.

По виду графика можем предположить наличие трендовой, случайной и структурной составляющих. Наличие структурной составляющей объясняется сменой тенденции в ряде, начиная с 1962 года. До 1962 года мы наблюдаем колебания уровней ряда относительно некоторой средней величины, а начиная с 1962 года наблюдается возрастающий тренд – уровни колеблются относительно воображаемой линии тренда.

b. Исследуем ряды на стационарность, используя расширенный тест Дики-Фулера (ADF-тест).

Для ряда IS:

Данный временной ряд не является стационарным ни с одной спецификацией, так как вероятности принятия альтернативной гипотезы для всех спецификаций выше 0,05.

Исследуем на стационарность ряд первых разностей величины IS.

Ряд первых разностей является стационарным со спецификацией без константы, вероятность принятия альтернативной гипотезы составляет 1,181·10-8, что намного меньше допустимого значения 0,05.

Для ряда IS:

Данный временной ряд не является стационарным ни с одной спецификацией, так как вероятности принятия альтернативной гипотезы для всех спецификаций выше 0,05.

Исследуем на стационарность ряд первых разностей величины IS.

Ряд первых разностей является стационарным со спецификацией без константы, вероятность принятия альтернативной гипотезы составляет 1,181·10-5, что намного меньше допустимого значения 0,05.

С. Так как оба исследуемых ряда являются стационарными относительно взятия их первых разностей, то порядок коинтегрируемости  составляет d = 1.

 

 

 

 

Задание 6

Вычислите значения функции автокорреляции и частной автокорреляции

(d)                   Определите порядок авторегрессии p и скользящего среднего q.

(e)                   Постройте модели ARIMA (p, d, q) для разных наборов p, d, q. Выберите наиболее предпочтительную спецификацию модели.

(f)                    Используя процедуру прогнозирования Бокса-Дженкинса постройте прогнозы для рядов на период с первого квартала 1982 по четвертый квартал 1986 г.

(g)                   Определите качество прогноза с помощью средней ошибки аппроксимации и относительной средней квадратической ошибки.

Решение.

d. Построим коррелограммы исследуемых рядов.

Для ряда IS:

 

 

 

 

По виду коррелограммы предполагаем порядок авторегрессии q=1, скользящего среднего p=1.

Для ряда IE:

 

 

 

 

По виду коррелограммы предполагаем порядок авторегрессии q=1, скользящего среднего p=1.

e. Построим модели ARIMA(p, d, q) для исследуемых рядов.

Подберем наилучшую модель для ряда IS. Построим модель ARIMA(1, 0, 1):

Построим модель ARIMA(1, 1, 0):

Критерии Акаике и Шварца являются лучшими для модели ARIMA(1, 1, 0). Останавливаем свой выбор на модели ARIMA(1, 1, 0):

ΔIS = at + 0,3546·at-1

 

Подберем наилучшую модель для ряда IE. Построим модель ARIMA(1, 1, 1):

Построим модель ARIMA(1, 0, 0):

Критерии Акаике и Шварца являются лучшими для модели ARIMA(1, 1, 1). Останавливаем свой выбор на модели ARIMA(1, 1, 1):

ΔIE = 1806 + at + 0,7119·at-1 – 0,4993·ΔIEt-1

 

f. Осуществим прогноз на период с первого квартала 1982 по четвертый квартал 1986 г, используя полученные модели временных рядов.

Для ряда IS:

 

 

 

 

 

Для ряда IE:

 

g. Определим качество прогноза с помощью средней ошибки аппроксимации и относительной средней квадратической ошибки.

Для ряда IS:

Средняя абсолютная процентная ошибка (MAPE) составляет 2,7%, свидетельствует о хорошем прогнозном качестве полученной модели. Средняя ошибка аппроксимации составляет -919,7, отрицательное значение свидетельствует о занижении прогнозных результатов.

Для ряда IE:

Средняя абсолютная процентная ошибка (MAPE) составляет 3,2%, свидетельствует о хорошем прогнозном качестве полученной модели. Средняя ошибка аппроксимации составляет 1598.

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 7

 

(a)     Используя ежедневные данные индекса S&P 500 со 2 января 2001 года по 31.12.2004 года (snp.xls), постройте график. Сделайте предположение о структуре временного ряда.

(b)    Оцените порядок интегрируемости временного ряда d с помощью ADF тестов.

Решение.

a. Построим временной ряд.

Во временном ряде присутствует случайная, трендовая и структурная составляющая. Наличие структурной составляющей объясняется изменением тенденции ряда со снисходящей на возрастающую с начала 2003 года.

b. Исследуем ряд на стационарность используя ADF-тест.

Для уровней ряда:

Ряд не является стационарным, так как наименьшее p-значение теста составляет 0,2332 и намного больше допустимого значения 0,05.

Исследуем на стационарность первые разности данного временного ряда.

Ряд первых разностей является стационарным со спецификацией без тренда и без константы, так как p-значение намного меньше 0,05.

Следовательно, исследуемый временной ряд является стационарным относительно взятия первых разностей. Порядок интегрированности составляет d=1.

 

 

Задание 8

(c)    Вычислите значения функции автокорреляции и частной автокорреляции.

(d)    Определите порядок авторегрессии p и скользящего среднего q.

(e)     Постройте модели ARIMA (p, d, q) для разных наборов p, d, q. Выберите наиболее предпочтительную спецификацию модели.

(f)      Проверьте остатки наиболее адекватной ARIMA(p, d, q) модели на гетероскедастичность.

(g)    Постройте GARCH(p, q) модель.

(h)    Объясните динамику волатильности индекса S&P.

Решение.

c. Построим коррелограмму временного ряда.

d. По виду коррелограммы можем предположить порядок авторегрессии и скользящего среднего, равный единице.

e. Построим модели ARIMA (p, d, q) для разных наборов p, d, q.

Построим модель ARIMA(0, 0, 1):

Построим модель ARIMA(1, 1, 1):

Наиболее предпочтительно будет модель ARIMA(0, 0, 1), так как в ней все коэффициенты статистически значимы.

ARIMA(0, 0, 1): Adg_Close = 1125,8 + 0,9956· Adg_Close(-1).

f. Проверим остатки наиболее адекватной ARIMA(p, d, q) модели на гетероскедастичность.

Проведем тест на наличие ARCH-процессов.

Р- значение меньше 0,05, следовательно ARCH-процессы присутствует и в модели имеется условная гетероскедастичность.

e. Построим GARCH(p, q) модель.

Возьмем значения p=1, q=1:

Коэффициент p-члена не является статистически значимым, исключаем его из модели.

Получили модель, в которой все коэффициенты статистически значимы.

h. Запишем уравнения для квадрата остатков по полученной модели GARCH(0, 1):

e2t = 8,24088 + 0,045· e2t-1

Волатильность индекса S&P, с каждым последующим периодам возрастает на 4,5% по сравнению с предыдущим периодом. Можем отметить увеличение вольтильности (колеблемости) индекса S&P с течением времени.

Имя файла: ekonometr3.doc

Размер файла: 858.5 Kb

Если закачивание файла не начнется через 10 сек, кликните по этой ссылке